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Zusammenfassung und kritische Dichte
Sehr häufig werde ich gefragt, wie groß denn die Gesamtmasse des Universums sei, denn es ist nur selten eine Aussage hierzu im Internet oder anderen Quellen zu finden. Dasselbe betrifft die Größe des Kosmos. Es sei gleich festgestellt: Eine auch nur halbwegs exakte Aussage zu diesen Fragen ist nicht möglich! Uns bleiben lediglich theoretische Überlegungen. Beispielsweise können wir nicht "sehen", wie weit sich das Universum tatsächlich erstreckt, zumal sich dessen "Außenbereiche" mit Lichtgeschwindigkeit oder noch schneller von uns entfernen könnten. Dennoch soll an dieser Stelle versucht werden eine kleine Übersicht zu geben, mit welchen Dimensionen man es zu tun hat.
Die Größe des (sichtbaren) Universums lässt sich relativ leicht errechnen. Der Radius R0 des Alls kann aus dem Alter A bestimmt werden:
R0 = c × A
wobei c natürlich die Lichtgeschwindigkeit ist. Das ist allerdings nur eine einfache Näherung.
Aktuell durch den WMAP- Satelliten durchgeführte Messungen ergaben einen Wert für die Hubble- Konstante H0 von 72 [Km/s/Mpc]. Der Kehrwert der Hubble- Konstanten ergibt das Weltalter. Wir berechnen zunächst die Strecke von einem Megaparsec [Mpc]
1 Lichtjahr = 299792458 × 365,24 × 24 × 60 × 60 = 9,46047 × 1015 [m]
1 [Mpc] = 3,262 × 1 Million [Lj] = 9,46047 × 1015 × 3,262 × 1 000 000 = 3,086 × 1022 [m]
Nun können wir die Hubble- Konstante in [m] ausdrücken:
H0 = 72 000 [m/s] / 3,086 × 1022 [m] = 2,333 × 10-18 [s-1]
Der Kehrwert 1/H0 gibt uns das Weltalter t0 :
t0 = 1/H0 = 1 / 2,333 × 10-18 [s-1] = 4,2861 × 1017 [s]
4,2861 × 1017 [s] / (365,24 x 24 x 60 x 60) [s/Jahr] = 13,58 Milliarden Jahre
Wenn man diese Rechnung mit gerundeten Zahlen durchführt, erhält man ein Weltalter von 13,7 Milliarden Jahren, wie es auch offiziell angegeben wird. Damit können wir uns nun an die Größe des Universums wagen:
R0 = (13,7 × 109 × 365,24 × 24 × 60 × 60) [s] × 299 792 458 [m/s] = 1,296 × 1026 [m]
Andere Möglichkeiten zur Bestimmung des Weltradius bieten sich den Astronomen anhand von Lichtlauf- Zeitdifferenzen an Gravitationslinsen oder durch die Bestimmung der Rotverschiebung entfernter Objekte. Häufig zieht man dazu auch so genannte Standard- Leuchtkerzen heran. Das sind besondere astronomische Objekte, wie z.B. die Cepheiden oder bestimmte Supernova- Typen, die eine stets gleiche, absolute Leuchtkraft (bzw. im Falle der Supernova auch Lichtkurve) besitzen und man deshalb von der gemessenen scheinbaren Helligkeit auf die Entfernung schließen kann. So ergeben sich Werte von bis zu 3206 Megaparsec (3,206 [Gpc], Gigaparsec), die allerdings nicht wesentlich vom oben errechneten Wert des sichtbaren Universums abweichen. Der Kosmos ist jedoch größer als wir sehen können, weil wir nur leuchtende Objekte (Quasare) in diesen extremen Entfernungen erkennen. Was vor den ersten leuchtenden Galaxien geschah, entzieht sich unseren Blicken. Deshalb kennt niemand die wahre Größe, und so ist es kein Wunder, dass die Angaben hierzu stark schwanken. Angefangen von 10facher Größe des sichtbaren Alls über tausendfache Größe, finden sich sogar Hinweise auf einen Faktor von 1026!
Halten wir also fest: Die Ausdehnung des sichtbaren Universums beträgt etwa 3 Gigaparsec, vorsichtig geschätzt ist sein tatsächlicher Radius 30 Gigaparsec (~1027 [m]). Der Radius könnte aber genauso gut vieltausendfach größer sein. Wir können das nicht nachmessen!
Es ist gar nicht so leicht, den Kosmos "abzuwiegen", sind wir doch an die Erde gebunden. Eine nahe liegende Möglichkeit bietet sich daher naturgemäß durch die Beobachtung des Universums und den gravitativen Beziehungen der verschiedenen Objekte. Daraus kann man anhand der Newtonschen Gravitationsgesetze auf die Massen schließen.
Hierzu muss man ein genügend großes Volumen in seine Betrachtung einbeziehen. Man kann die Anzahl der Galaxien sowie ihre Masse bestimmen, dividiert durch das beobachtete Volumen erhält man dann eine mittlere Massendichte. Nun braucht man "nur" noch das Gesamtvolumen des Universums, um die Gesamtmasse zu ermitteln.
Galaxien gesellen sich gerne in Gruppen an, bilden Galaxienhaufen und diese wiederum ordnen sich zu Superhaufen an. Zwischen diesen Großstrukturen finden wir Leerräume von 10 bis 100 Megaparsec, das sind Distanzen bis zu 300 Millionen Lichtjahren. Das bedeutet, dass die Verteilung der Materie sehr ungleichmäßig erscheint und wir keine aussagekräftigen Werte erhalten. Wenn wir aber viel größere Volumina betrachten, etwa ab 1000 [Mpc] aufwärts, erscheint uns die Materie relativ homogen im All verteilt zu sein. Aus vielen solcher Beobachtungen und Messungen erhielten die Astronomen einen Anhaltswert der mittleren Massendichte von
1 × 10-27 bis 5 × 10-27 [Kg/m3]
Das ist nun ein sehr geringer Wert, und er stellt auch nur eine minimale Untergrenze dar. Eine solche Angabe ist allerdings auch sehr unsicher. Einfach aus dem Grund, weil bei den Vermessungen dieser riesigen Raumvolumina selbst die kleinste Messunsicherheit enorme Auswirkungen hat. Daher ist man mit solchen Aussagen eher vorsichtig.
Aber rechnen wir einfach einmal ohne Rücksicht auf Unsicherheiten. Den Radius des beobachtbaren Universums haben wir zu etwa 3000 [Mpc] ermittelt. Das entsprach der fantastischen Strecke von
1,296 × 1026 [m]
Daraus können wir das Volumen des Kosmos ableiten. Vereinfacht gehen wir dabei von einem kugelförmigen Universum aus. Das Volumen berechnet sich dann nach:
V = 4/3πr3 = 9,118 × 1078 [m3]
Damit kommen wir auf eine Gesamtmasse von:
5 × 10-27 [Kg/m3] × 9,118 × 1078 [m3] = 4,56 × 1052 [Kg]
In verschiedenen Quellen wurden darüber hinaus öfter nachstehende Angaben gefunden:
Weltradius: 1,9 × 1026 [m] Gesamtmasse: 1,44 × 1053 [Kg]
Eine andere Möglichkeit der Abschätzung ist folgende:
Die Anzahl der im Universum vorhandenen Galaxien wird unterschiedlich angegeben. Sie schwankt zwischen 500 Millionen (5 × 108) bis hin zu 100 Milliarden (1011). Eine durchschnittliche Galaxie weist eine Masse von einer Billion Sonnenmassen auf (1012), wobei unsere Sonne rund 2 × 1030 [Kg] "wiegt". Damit können wir wieder rechnen:
(5 × 108) × 1012 × (2 × 1030 [Kg]) = 1051 [Kg]
(1011) × 1012 × (2 × 1030 [Kg]) = 1053 [Kg]
Auch mit dieser Abschätzung liegen wir in relativer Übereinstimmung mit der ersten Berechnung.
Die nächste Möglichkeit beruht auf theoretischen Betrachtungen, nach welchen die Anzahl der Teilchen im Kosmos definiert ist. Wie wir in vorhergehenden Abschnitten sahen, zerstörten sich in der Frühphase des Alls Teilchen und Antiteilchen gegenseitig. Die hieraus entstandenen Photonen sehen wir heute als Hintergrundstrahlung und können aus deren Anzahl auf die heute vorhandene Materie schließen, die nur ein Milliardstel der damaligen Teilchenanzahl beträgt. Sie wird unterschiedlich mit 1080 oder 1081 angegeben. Um nun rechnen zu können, müssen wir wissen, was ein Teilchen "wiegt".
Die Ruhemasse des Neutrons, von dem wir annehmen, dass es als "durchschnittliches" Teilchen die Baryonen (= Teilchen, aus denen die Materie besteht) im Kosmos vertritt, beträgt 1,67493 × 10-27 [Kg]. So können wir erneut rechnen:
1,67493 × 10-27 [Kg] × 1080 = 1,675 × 1053 [Kg]
1,67493 × 10-27 [Kg] × 1081 = 1,675 × 1054 [Kg]
Somit haben wir eine weitere Bestätigung über die ungefähre Größenordnung der kosmischen Gesamtmasse.
Wolfgang Meister hat zur Bestimmung der universalen Masse eine höchst interessante Beziehung herausgefunden:
Mittlere Massendichte ρ = 1/G × T2
Darin bedeuten G = Gravitationskonstante und T = Weltalter. Setzt man die entsprechenden Werte ein, ergibt sich:
ρ = 1/6,673 × 10-11 × (13,7 × 109 × 365,24 × 24 × 60 × 60)2 = 8,017 × 10-26 [Kg/m3]
Die Masse des Universums berechnet sich dann mit oben genanntem Volumen:
3,317 × 1078 [m3] × 8,017 × 10-26 [Kg/m3] = 2,66 × 1053 [Kg]
Der Astrophysiker Dr. Andreas Müller bemerkt u.a. zu dieser Rechnung:
...die drei Friedman-Weltmodelle können durch den Krümmungsparameter unterschieden werden
k = -1, 0, +1
entsprechend hyperbolisch, euklidisch, elliptisch. Äquivalent kann man einen kritischen Dichteparameter aus den Friedmanschen Differentialgleichungen ableiten:
ρkrit = (3/8π) × (H02/G)
Ist die beobachtete Dichte ρ0 größer als ρkrit haben wir ein elliptisches (geschlossenes) Universum. Ist sie kleiner, ist das Weltall hyperbolisch (offen) und sollte beide Dichten gerade übereinstimmen, so ist es euklidisch und offen. Dieser letzte Fall scheint auch gerade realisiert zu sein, wie aktuelle Messungen ergeben (Daten unter http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_d.html#lam).
Das heißt, dass die Winkelsumme eines Dreiecks, das drei kosmologisch entfernte Quasare bilden, exakt 180 Grad beträgt, wie es in einer flachen Geometrie der Fall ist.
Mit der Bemerkung oben zur Hubblezeit sieht man, dass bis auf den Vorfaktor eine starke Ähnlichkeit der Gleichung für ρkrit zur genannten Formel besteht. Der Vorfaktor ist etwa 0.12 ~ 10-1, so dass man einen Wert für ρkrit von 9.71 x 10-30 [g cm-3] ableiten kann. Im cgs-System ist dieses Ergebnis also bis auf eine Größenordnung (durch den Vorfaktor) in Übereinstimmung...
Zusammenfassung und kritische Dichte
Fassen wir also zusammen:
Die Größe des sichtbaren Universums weist einen Radius von etwa 3000 Megaparsec auf, was rund 9,8 Milliarden Lichtjahren entspricht. Tatsächlich könnte die Ausdehnung um den Faktor 10, oder noch viel größer sein. Die Gesamtmasse des Universums liegt irgendwo im Bereich zwischen 1052 und 1054 [Kg], sein Alter (aktuell) bei 13,7 Milliarden Jahren.
Viel interessanter ist allerdings der Vergleich der gefundenen mittleren Dichte ρ0 zur kritischen Massendichte ρkrit, die uns schließlich eine Aussage über die Zukunft des Universums erlaubt. Wie wir gesehen haben, liegt ρkrit mit rund 9,7 × 10-26 [Kg m-3] im Bereich der gefundenen mittleren Massendichte ρ0 von 5 × 10-27 bis 8 ×, 10 -26 [Kg m-3]. Wir kommen also nahe an die kritische Dichte heran und unsere hier ermittelten Werte sind konsistent zu den Daten des eingangs erwähnten WMAP- Experiments. Wir müssen deshalb davon ausgehen, in einem offenen, euklidischen Universum zu leben. Dessen Expansion wird erst in unendlich langer Zeit zum Stillstand kommen, wenn es längst den Kältetod gestorben ist und alle Materie aufgehört hat zu existieren.
Letzte Änderung: 9. Februar 2006
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