Grösse und Masse des Universums

Die Größe des Kosmos

Wie schwer ist das All?

Zusammenfassung und kritische Dichte

Die Größe des Kosmos

Sehr häufig werde ich gefragt, wie groß denn die Gesamtmasse des Universums sei, denn es ist nur selten eine Aussage hierzu im Internet oder anderen Quellen zu finden. Dasselbe betrifft die Größe des Kosmos. Es sei gleich festgestellt: Eine auch nur halbwegs exakte Aussage zu diesen Fragen ist nicht möglich! Uns bleiben lediglich theoretische Überlegungen. Beispielsweise können wir nicht "sehen", wie weit sich das Universum tatsächlich erstreckt, zumal sich dessen "Außenbereiche" mit Lichtgeschwindigkeit oder noch schneller von uns entfernen könnten. Dennoch soll an dieser Stelle versucht werden eine kleine Übersicht zu geben, mit welchen Dimensionen man es zu tun hat.

Die Größe des (sichtbaren) Universums zu errechnen ist nicht trivial. Man könnte annehmen der Radius $R_0$ des Alls könne aus dem Alter $A$ bestimmt werden:

$R_0=c·A$

wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Obwohl dies die Strecke repräsentiert, welche das Licht seit dem Urknall maximal durchlaufen hat, berücksichtigt diese Rechnung jedoch nicht, daß sich das Universum währenddessen ausgedehnt hat. Die näherungsweise kugelförmige Fläche, von der uns Licht seit dem Urknall erreicht haben kann, nennt man Beobachtungshorizont. Als das Licht sich auf den Weg zu uns machte, war es nur wenige Hundert Millionen Lichtjahre entfernt, während sich die von ihm noch zurückzulegende Strecke weiter ausdehnte. Und obwohl das Licht nur eine Strecke von $R_0$ durchlaufen hat, hat sich die von ihm bereits zurückgelegte Strecke ebenso ausgedehnt und beträgt heute dem Urknall-Standardmodel nach ca ca 46,6 Milliarden Lichtjahre.

Durch den WMAP- Satelliten durchgeführte Messungen ergaben einen Wert für die Hubble- Konstante $H_0$ von 72 [km/s/Mpc], die in etwa auch durch die neuere Planck- Mission bestätigt wurde. Der Kehrwert der Hubble- Konstanten ergibt das Weltalter. Wir berechnen zunächst die Strecke von einem Megaparsec [Mpc]

$1\mathrm{Lichtjahr}=\mathrm{299\; 792\; 458}·\mathrm{365,24}·24·60·60=\mathrm{9,46047}·{10}^{15}\left[m\right]$

$1\left[\mathrm{Mpc}\right]=\mathrm{3,262}·1\mathrm{Million}\left[\mathrm{Lj}\right]=\mathrm{9,46047}·{10}^{15}·\mathrm{3,262}·\mathrm{1\; 000\; 000}=\mathrm{3,086}·{10}^{22}\left[m\right]$

Nun können wir die Hubble- Konstante in SI- Einheiten ausdrücken:

$H_0=\mathrm{72\; 000}[m/s]/\mathrm{3,086}·{10}^{22}\left[m\right]=\mathrm{2,333}·{10}^{-18}\left[s^{-1}\right]$

Der Kehrwert $1/H_0$ gibt uns das Weltalter $t_0$ :

$t_0=1/H_0=1/\mathrm{2,333}·{\mathrm{10}}^{-18}\left[s^{-1}\right]=\mathrm{4,2861}·{10}^{17}\left[s\right]$

$\mathrm{4,2861}·{10}^{17}\left[s\right]/(\mathrm{365,24}·24·60·60)[s/\mathrm{Jahr}]=\mathrm{13\; 580\; 000\; 000}\mathrm{Jahre}$

Wenn man diese Rechnung mit gerundeten Zahlen durchführt, erhält man ein Weltalter von 13,7 Milliarden Jahren, das aber aktuell auf 13,8 Mrd. Jahre korrigiert wurde. Berechnet man das Weltalter aus der Hubble- Konstanten, wie sie von der Planck- Mission ermittelt wurde (67,4 [km/s/Mpc]), ergibt sich ein Alter von 14,51 Mrd. Jahren. Eine Messung der Hubblezahl durch das Hubble- Weltraumteleskop ergab dagegen eine Größe von 74,2 [km/s/Mpc], wonach das Alter nur 13,18 Mrd. Jahre beträgt. Mittelt man beide Ergebnisse, findet man in etwa das korrekte Alter von 13,84 Mrd. Jahren.

Damit können wir uns nun an die Größe des Universums wagen:

$R_0=(\mathrm{13,8}·{10}^9·\mathrm{365,24}·24·60·60)\left[s\right]·\mathrm{299\; 792\; 458}[m/s]=\mathrm{1,3055}·{10}^{26}\left[m\right]$

Andere Möglichkeiten zur Bestimmung des Weltradius bieten sich den Astronomen anhand von Lichtlauf- Zeitdifferenzen an Gravitationslinsen oder durch die Bestimmung der Rotverschiebung entfernter Objekte. Häufig zieht man dazu auch so genannte Standard- Leuchtkerzen heran. Das sind besondere astronomische Objekte, wie z.B. die Cepheiden oder bestimmte Supernova- Typen, die eine stets gleiche, absolute Leuchtkraft (bzw. im Falle der Supernova auch Lichtkurve) besitzen und man deshalb von der gemessenen scheinbaren Helligkeit auf die Entfernung schließen kann. So ergeben sich Werte von bis zu 3206 Megaparsec (3,206 [Gpc], Gigaparsec), die allerdings nicht wesentlich vom oben errechneten Wert des sichtbaren Universums abweichen. Der Kosmos ist jedoch größer als wir sehen können, weil wir nur leuchtende Objekte (Quasare) in diesen extremen Entfernungen erkennen. Was vor den ersten leuchtenden Galaxien geschah, entzieht sich unseren Blicken. Deshalb kennt niemand die wahre Größe, und so ist es kein Wunder, dass die Angaben hierzu stark schwanken. Angefangen von 10facher Größe des sichtbaren Alls über tausendfache Größe, finden sich sogar Hinweise auf einen Faktor von 10²⁶!

Halten wir also fest: Die Ausdehnung des sichtbaren Universums beträgt etwa 3 Gigaparsec, vorsichtig geschätzt ist sein tatsächlicher Radius 30 Gigaparsec (~10²⁷ [m]). Der Radius könnte aber genauso gut vieltausendfach größer sein. Wir können das nicht nachmessen!

Wie schwer ist das All?

Es ist gar nicht so leicht, den Kosmos "abzuwiegen", sind wir doch an die Erde gebunden. Eine nahe liegende Möglichkeit bietet sich daher naturgemäß durch die Beobachtung des Universums und den gravitativen Beziehungen der verschiedenen Objekte. Daraus kann man anhand der Newtonschen Gravitationsgesetze auf die Massen schließen.

Hierzu muss man ein genügend großes Volumen in seine Betrachtung einbeziehen. Man kann die Anzahl der Galaxien sowie ihre Masse bestimmen, dividiert durch das beobachtete Volumen erhält man dann eine mittlere Massendichte. Nun braucht man "nur" noch das Gesamtvolumen des Universums, um die Gesamtmasse zu ermitteln.

Galaxien gesellen sich gerne in Gruppen an, bilden Galaxienhaufen und diese wiederum ordnen sich zu Superhaufen an. Zwischen diesen Großstrukturen finden wir Leerräume von 10 bis 100 Megaparsec, das sind Distanzen bis zu 300 Millionen Lichtjahren. Das bedeutet, dass die Verteilung der Materie sehr ungleichmäßig erscheint und wir keine aussagekräftigen Werte erhalten. Wenn wir aber viel größere Volumina betrachten, etwa ab 1000 [Mpc] aufwärts, erscheint uns die Materie relativ homogen im All verteilt zu sein. Aus vielen solcher Beobachtungen und Messungen erhielten die Astronomen einen Anhaltswert der mittleren Massendichte von

$1·{10}^{-27}$ bis $5·{10}^{-27}[\mathrm{kg}/m^3]$

Das ist nun ein sehr geringer Wert, und er stellt auch nur eine minimale Untergrenze dar. Eine solche Angabe ist allerdings auch sehr unsicher. Einfach aus dem Grund, weil bei den Vermessungen dieser riesigen Raumvolumina selbst die kleinste Messunsicherheit enorme Auswirkungen hat. Daher ist man mit solchen Aussagen eher vorsichtig.

Aber rechnen wir einfach einmal ohne Rücksicht auf Unsicherheiten. Den Radius des beobachtbaren Universums haben wir zu etwa 3000 [Mpc] ermittelt. Das entsprach der fantastischen Strecke von

$\mathrm{1,3055}·{10}^{26}\left[m\right]$

Daraus können wir das Volumen des Kosmos ableiten. Vereinfacht gehen wir dabei von einem kugelförmigen Universum aus. Das Volumen berechnet sich dann nach:

$V=4/3\pi r^3=\mathrm{9,118}·{10}^{78}\left[m^3\right]$

Damit kommen wir auf eine Gesamtmasse von:

$5·{\mathrm{10}}^{-27}[\mathrm{kg}/m^3]·\mathrm{9,118}·{10}^{78}\left[m^3\right]=\mathrm{4,56}·{10}^{52}\left[\mathrm{kg}\right]$

In verschiedenen Quellen wurden darüber hinaus öfter nachstehende Angaben gefunden:

Weltradius: 1,9 · 10²⁶ [m]    Gesamtmasse: 1,44 · 10⁵³ [kg]

Eine andere Möglichkeit der Abschätzung ist folgende:

Die Anzahl der im Universum vorhandenen Galaxien wird unterschiedlich angegeben. Sie schwankt zwischen 500 Millionen (5 x 10⁸) bis hin zu 100 Milliarden (10¹¹). Eine durchschnittliche Galaxie weist eine Masse von einer Billion Sonnenmassen auf (10¹²), wobei unsere Sonne rund 2 x 10³⁰ [kg] "wiegt". Damit können wir wieder rechnen:

$(5·{10}^8)·{10}^{12}·(2·{10}^{30}[\mathrm{kg}\left]\right)={10}^{51}\left[\mathrm{kg}\right]$

$\left({10}^{11}\right)·{10}^{12}·(2·{10}^{30}[\mathrm{kg}\left]\right)={10}^{53}\left[\mathrm{kg}\right]$

Auch mit dieser Abschätzung liegen wir in relativer Übereinstimmung mit der ersten Berechnung. Allerdings muss korrekterweise noch erwänt werden, dass die Anzahl Sterne/Galaxie entgegen obiger Angabe inzwischen nach oben korrigiert wird, auch sind die Massen von interstellarem/intergalaktischem Gas und Staub nicht berücksichtigt. Allerdings liegen Angaben, wie z.B. in Wikipedia, exakt auch im Bereich von 10⁵³ [kg]. Zu berücksichtigen dabei ist jedoch, dass wir hier nur die Masse der leuchtenden Materie betrachten. Die Masse der Dunklen Materie ist nicht oder kaum berechenbar. Dazu kommt, dass die Anzahl der Galaxien durchaus noch um den Faktor 10 höher liegen könnte - die Gesamtmasse kann also noch deutlich größer sein.

Die nächste Möglichkeit beruht auf theoretischen Betrachtungen, nach welchen die Anzahl der Teilchen im Kosmos definiert ist. Wie wir in vorhergehenden Abschnitten sahen, zerstörten sich in der Frühphase des Alls Teilchen und Antiteilchen gegenseitig. Die hieraus entstandenen Photonen sehen wir heute als Hintergrundstrahlung und können aus deren Anzahl auf die heute vorhandene Materie schließen, die nur ein Milliardstel der damaligen Teilchenanzahl beträgt. Sie wird unterschiedlich mit 10⁸⁰ oder 10⁸¹ angegeben. Um nun rechnen zu können, müssen wir wissen, was ein Teilchen "wiegt".

Die Ruhemasse des Neutrons, von dem wir annehmen, dass es als "durchschnittliches" Teilchen die Baryonen (= Teilchen, aus denen die Materie besteht) im Kosmos vertritt, beträgt $\mathrm{1,67493}·{10}^{-27}\left[\mathrm{kg}\right]$. So können wir erneut rechnen:

$\mathrm{1,67493}·{10}^{-27}\left[\mathrm{kg}\right]·{10}^{80}=\mathrm{1,675}·{10}^{53}$

$\mathrm{1,67493}·{10}^{-27}\left[\mathrm{kg}\right]·{10}^{81}=\mathrm{1,675}·{10}^{54}$

Somit haben wir eine weitere Bestätigung über die ungefähre Größenordnung der kosmischen Gesamtmasse.

Zusammenfassung und kritische Dichte

Fassen wir also zusammen:

Die Größe des sichtbaren Universums weist einen Radius von etwa 3000 Megaparsec auf, was rund 9,8 Milliarden Lichtjahren entspricht. Tatsächlich könnte die Ausdehnung um den Faktor 10, oder noch viel größer sein. Die Gesamtmasse des Universums liegt irgendwo im Bereich zwischen 10⁵² und 10⁵⁴ [kg], sein Alter (aktuell) bei 13,8 Milliarden Jahren.

Viel interessanter ist allerdings der Vergleich der von den Astronomen gefundenen mittleren Dichte ${\rho }_0$ zur kritischen Massendichte ${\rho }_{\mathrm{krit}}$, die uns schließlich eine Aussage über die Zukunft des Universums erlaubt. Die kritische Dichte errechnet sich nach

${\rho }_{\mathrm{krit}}=\frac{3·{H_0}^2}{8\pi ·G}$

wonach sie bei etwa 10^-26 [kg m^-3] durchaus im Bereich der gefundenen mittleren Massendichte von 5 x 10^-27 bis 8 x 10 ^-26 [kg m^-3] liegt. Wir kommen also nahe an die kritische Dichte heran und unsere hier ermittelten Werte sind konsistent zu den Daten der eingangs erwähnten WMAP- und Planck- Experimente. Wir müssen deshalb davon ausgehen, in einem offenen, euklidischen Universum zu leben. Dessen Expansion wird erst in unendlich langer Zeit zum Stillstand kommen, wenn es längst den Kältetod gestorben ist und alle Materie aufgehört hat zu existieren.