Hallo zusammen,
zunächst wünsche ich Euch allen ein frohes Neues Jahr!
Im Folgenden möchte ich ein paar Ideen vorstellen, wie die QM und der 2. Hauptsatz der Thermodynamik zusammenhängen könnten.
1930 hat Erwin Schrödinger aus bestimmten Lösungen der Dirac-Gleichung eine Zitterbewegung des Elektrons herleiten können. Diese Zitterbewegung kann man etwas vereinfachend so zusammenfassen: Der Ort eines ruhenden Elektrons schwankt mit einer Frequenz, die der Compton-Frequenz entspricht um einen Mittelwert mit einer Amplitude, die der Compton-Wellenlänge entspricht.
Wir nehmen nun dieses heute verschieden interpretierte Phänomen ganz wörtlich und interpretieren es in klassischer Weise, in dem wir folgende Annahmen machen:
1. Das Elektron ist ein Teilchen mit einer Ausdehnung > 0
2. Das Vakuum enthält ein Gas, das aus Teilchen mit einer Masse > 0 besteht
3. Das Elektron ist ein Kondensat dieses Gases
4. Die Zitterbewegung ist eine Brownsche Bewegung des Elektrons in diesem Gas
5. Die durchschnittliche Anzahl der Treffer pro Sekunde entspricht der Compton-Frequenz
6. Die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Treffern entspricht der Compton-Wellenlänge
Zu diesen Annahmen, möchte ich zunächst ein paar Anmerkungen machen. Wir wissen heute, dass das Vakuum nicht vollständig leer sein kann. Sowohl die QM als auch die Maxwell-Gleichungen und die ART zeigen dies deutlich. Wir wissen heute nicht, wie die genaue Zusammensetzung des Vakuums ist und warum sich diese in den drei Bereichen notwendigen Eigenschaften ergeben. So gesehen haben die obigen Annahmen auch nicht den Anspruch zu behaupten, dass dieses Gas tatsächlich so existiert. Es handelt sich wie alles andere auch um ein Modell, das wie Seeker immer wieder betont, nicht wirklich als wahr bewiesen werden kann. Wir werden aber sehen, dass sich aus diesem Modell einige sehr interessante Schlussfolgerungen ergeben, die hauptsächlich die Interpretation der QM, aber auch der SRT und anderer Bereiche betreffen.
Eine Brownsche Bewegung kann man mathematisch auf verschiedene Weisen abbilden. Zum einen über Langevin-Gleichungen, die eine spezielle Klasse von stochastischen Differentialgleichungen repräsentieren, zum anderen über Fokker-Planck-Gleichungen, die reine Differentialgleichungen sind und zum dritten über stochastische Prozesse, die ihre Grundlagen in der Chapman-Kolmogorow-Gleichung bzw. Mastergleichung haben. Hierbei können die Übergangswahrscheinlichkeiten auch als Pfadintegrale dargestellt werden, was eine enge Verbindung zu dem Ansatz von Feynman nahelegt. Bei der Brownschen Bewegung sind diese Pfade auch sofort physikalisch verständlich, da es sich um Polygonzüge handelt, die die möglichen Zitterbewegungen abbilden. In der Vergangenheit hat man bereits zeigen können, dass die Schrödinger-Gleichung und die Fokker-Planck-Gleichung unter bestimmten Bedingungen, die hier gegeben sind, mathematisch äquivalent sind.
Wir betrachten nun zunächst ein im Vakuum ruhendes Elektron. Dies bedeutet in diesem Modell physikalisch, dass sich das Elektron im thermodynamischen Gleichgewicht mit dem angenommenen Vakuumgas befindet und das Elektron keine (translatorische) Eigenbewegung hat, also <v> = 0 ist. Dies entspricht der stationären Lösung der Fokker-Planckgleichung für ein Brownsches Teilchen. Diese stationäre Lösung der Fokker-Planckgleichung ist die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung.
Die Impulsdarstellung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung sieht wie folgt aus:
Dabei entspricht der Vorfaktor der thermischen Wellenlänge geteilt durch
h.
Nun schauen wir uns den harmonischen Oszillator der QM, der Einfachheit halber in einer Dimension, an. Die Impulsdarstellung des harmonischen Oszillators in der QM für den Grundzustand (n=0), sieht dann wie folgt aus:
Wenn wir hier nun für die Frequenz die Compton-Frequenz einsetzen, ergibt sich:
Da sich das Elektron laut Annahme in einem thermischen Bad eines Gases befindet, können wir dem ruhenden Elektron (thermodynamisches Gleichgewicht) auch eine Temperatur (Umgebungstemperatur) zuweisen. Ganz klassisch ergibt sich diese bei einem Freiheitsgrad aus
und damit
Die mittlere quadratische Geschwindigkeit ergibt sich dabei direkt aus den Annahmen, die eigentlich nur die berühmte Gleichung
repräsentieren, die nun auch für ein Elektron eine physikalische Bedeutung hätte. Zwischen zwei Treffern bewegt sich also das Elektron mit einer mittleren Geschwindigkeit von c. Beide Ergebnisse zusammen ergeben dann, dass die Impulsdarstellung des harmonischen Oszillators im Grundzustand und die Impulsdarstellung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung identisch sind.
Damit können wir für dieses Modell zunächst folgendes festhalten:
1. Der Grundzustand des harmonischen Oszillators der QM beschreibt ein Elektron in Ruhe mit einer Brownschen Bewegung
2. Dem Elektron in Ruhe kann eine Temperatur in Höhe von T = E/3k (bei 3 translatorischen Freiheitsgraden) zugewiesen werden, wobei E die Ruheenergie des Elektrons ist.
3. Der Zufall in der QM wäre thermodynamischen Ursprungs
Demnach hätte ein Elektron in Ruhe eine Temperatur von ca. 2 Milliarden Kelvin. Dies ist zunächst überraschend, weil wir dem Elektron in Ruhe heute in der Regel nur eine Temperatur von 0 zugestehen. Allerdings ist uns diese Temperatur implizit bereits bekannt. Es handelt sich um die Fermitemperatur des Elektrons. Seine Fermienergie beträgt E/2 und die Fermingeschwindigkeit ist c.
Wenn wir uns die Lösung des harmonischen Oszillators in der Ortsdarstellung anschauen (die Einzelheiten lasse ich hier mal weg), ergibt sich für die mittlere Ortsabweichung
Für den mittleren Impuls ergibt sich:
Zusammen erhalten wir dann die folgende Form der Heisenbergschen Unschärferelation:
Dies ergibt sich auch direkt aus den Lösungen der klassischen Ansätze für die Brownsche Bewegung.
Weiter können wir nun auch der berühmten Formel E = mc[up]2[/up] eine physikalische Bedeutung geben:
Die Hälfte der Ruheenergie eines Elektrons wäre damit thermischen Ursprungs, die andere Hälfte besteht aus potentieller Energie, die sich aus der elektromagnetischen Selbstenergie des Elektrons ergibt. Dies näher auszuführen, würde hier aber den Rahmen sprengen.
Weiter können wir nun auch für die Frage von Zarathustra, was denn nun die Gleichung
physikalisch bedeutet, eine Antwort vorschlagen.
Wir nehmen dazu die mittlere Zeitspanne zwischen zwei Treffern der Gasteilchen auf das Elektron und definieren:
Für die Ortsdifferenz nehmen wir die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Treffern, die der Comptonwellenlänge entspricht. Dann ergibt sich zusammen:
Dies bedeutet, dass
nicht nur für Photonen gilt, sondern auch für das Elektron. Daraus ergibt sich dann sofort:
Die vorletzte Formel kann man damit als Variante der Gleichung
oder auch
ansehen, die man beide auch entsprechend für den relativistischen Fall erweitern kann. s repräsentiert dann physikalisch den mittleren Weg (Summe der Länge der Polygonabschnitte), den ein Teilchen in einer Sekunde zurücklegt. Auch im relativistischen Fall entspricht dieser Weg immer der Geschwindigkeit c, unabhängig davon, welche translatorische Geschwindigkeit das Elektron hat. Die Amplitude der Zitterbewegungen wird abhängig von einer steigenden Geschwindigkeit entsprechend kleiner, die Anzahl der Treffer immer größer, so dass sich insgesamt immer ein Weg ergibt, der c entspricht. Falls gewünscht, kann ich darauf näher eingehen, möchte dies aber der Übersichtlichkeit wegen hier nicht tun. Die Annahme Einsteins, dass c in allen Inertialsystemen konstant ist, bekäme damit ebenfalls eine physikalische Bedeutung. Die Aussage heute, dass ein Teilchen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit c durch die 4-dimensionale Raumzeit bewegt, hätte dann eine 3-dimensionale konkrete physikalische Interpretation und die 4. Dimension könnte nur ein mathematischer Kunstgriff sein, hätte aber evtl. keine physikalische Bedeutung. Ich glaube, das ist ähnlich dem, was Zarathustra bereits in seinen Beiträgen meinte, und diese Sichtweise würde das unterstützen.
Die Annahmen des hier kurz skizzierten Modells geben aus meiner Sicht Anlass zur Aussage, dass der Zufall in der QM thermodynamischen Ursprungs sein könnte. Sie erklären nicht den Spin und die Superposition bzw. die Verschränkung und damit das Doppelspalt Experiment. Hierzu muss man dem Vakuum noch eine weitere Eigenschaft zugestehen. Dies würde aber hier den Rahmen sprengen.
Kommen wir zurück auf die Ausgangsfrage. Was hat das alles jetzt mit dem 2. Hauptsatz und der Entropie zu tun? Wir betrachten dazu nur den nichtrelativistischen Fall eines Elektrons in Bewegung. Wir wählen dazu die Langevin-Gleichung, da sie physikalisch die beste Interpretation beinhaltet. Dies hat im Prinzip auch Einstein schon 1905 in seiner Arbeit zur Brownschen Bewegung so getan. Dazu betrachten wir die folgende Langevingleichung für die Brownsche Bewegung:
Hierbei bedeuten m die Masse des Elektrons, v die Geschwindigkeit,
einen Reibungsterm und F(t) eine gaussverteilte Zufallsvariable, die die einzelnen Treffer der Gasteilchen modelliert. Ich möchte dabei nicht auf die Einzelheiten, sondern nur die Ergebnisse eingehen.
Die Lösung dieser stochastischen Differentialgleichung sieht dann wie folgt aus:
Der erste Ausdruck repräsentiert dann die translatorische Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, der zweite M(t) repräsentiert den jeweiligen Anteil der thermischen Fluktuationen. Für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Elektrons ergibt sich dann:
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Teilchens mit zunehmender Zeit immer kleiner wird. Dies liegt daran, dass das Gas, in dem sich das Elektron bewegt wie bereits Einstein 1905 zeigte, dem bewegten Elektron einen Widerstand (Reibung) entgegensetzt. Ein Hinweis darauf, dass dies durchaus zutreffen könnte, wäre die Pioneer Anomalie. Dies wiederum bedeutet, dass der Zustand des Elektrons sich mit der Zeit ändert und das Ganze (Reibung) ein irreversibler Prozess ist. Wenn die Zeit gegen unendlich geht, geht die Geschwindigkeit gegen 0 und es bleiben nur noch die thermischen Bewegungen M(t) des Elektrons übrig, die dann den stationären Zustand beschreiben und wie bereits erwähnt der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung entsprechen. In diesem Zustand ruht aber das Elektron nicht, sondern befindet sich immer noch in thermischer Bewegung. Dies nennen wir heute Nullpunktenergie oder auch Nullpunktfluktuationen.
Da die Langevin-Gleichung in dieser Form äquivalent zu einer Fokker-Planck-Gleichung ist und diese wiederum äquivalent zu einer entsprechenden Schrödinger-Gleichung, enthält die QM damit implizit die Aussage, dass jeder Prozess, der sich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht mit dem Vakuum befindet, ein irreversibler Prozess ist. Da dies auf alle realen Prozesse zutrifft, ist damit in der QM implizit auch ein Teil der Kernaussage des 2. Hauptsatzes enthalten und reale Prozesse erhalten dadurch einen Zeitpfeil. Es gibt noch einen zweiten Zeitpfeil, der implizit in der ART enthalten ist, und der ebenfalls thermodynamischen Ursprungs sein könnte, allerdings ganz andere Ursachen hat.
Die Entropie kann man dann als ein Maß auffassen, das angibt, wie weit der Zustand eines Systems vom thermodynamischen Gleichgewicht abweicht. Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die Entropie maximal. Unser Elektron in Ruhe hätte also damit eine Entropie, die > 0 ist. Ein Elektron in schneller Bewegung hätte dann eine niedrigere Entropie, die aber im Laufe der Zeit anwächst, da es wie jedes System bestrebt ist, das thermodynamische Gleichgewicht zu erreichen. Dies wäre dann auch die Erklärung dafür, dass jedes System bestrebt ist, den niedrigst möglichen Energiezustand zu erreichen. Jeder Zustand, der nicht dem thermodynamischen Gleichgewicht entspricht, wäre damit ein angeregter Zustand mit einem erhöhten Energieanteil, den er im Laufe der Zeit an das Vakuum abgeben muss.
Die Entropie eines bewegten Elektrons wäre dann in etwa:
Dabei repräsentiert der linke Summand den translatorischen Anteil mit 3 Freiheitsgraden und der rechte den Rotationsanteil mit 2 Freiheitsgraden.
ist hierbei der Lorentzfaktor.
Wenn man den relativistischen Fall betrachtet, muss man in der Langevin-Gleichung statt der Geschwindigkeit den relativistischen Impuls zu Grunde legen. Hierdurch erhält die Langevin-Gleichung einen Reibungsterm, der nicht mehr linear von der Geschwindigkeit abhängig ist. Untersuchungen von Langevin-Gleichungen haben ergeben, dass es bei nicht linearen Reibungstermen möglich ist, hieraus sowohl Fermi- als auch Bose-Statistiken abzuleiten und nicht nur die Maxwell-Boltzmann-Statistiken für den nicht relativistischen Fall. Falls jemand Interesse daran hat, kann ich eine Referenz dazu angeben. Dies zeigt aus meiner Sicht, dass die obigen Annahmen durchaus ihre Berechtigung haben könnten.
Ich hoffe, dass ich das einigermaßen verständlich ausdrückt habe. Ich stelle immer wieder fest, dass dies keineswegs (zumindest für mich) einfach ist und mehr Zeit in Anspruch nimmt, als man sich wünschen würde. Zumindest mit TEX kenne ich mich nun ein wenig aus