Schwarze Löcher

Horizonte

Wie wir gesehen haben, verschwindet der kollabierte Stern bei Erreichen einer bestimmten Grenze, dem kritischen Radius, nicht nur von unserer "Bildfläche", er schneidet sich völlig vom übrigen Universum ab. Der deutsche Astronom Karl Schwarzschild (1873-1916) hatte bereits 1916 aus der Einsteinschen Formulierung der Gravitationsgesetze, erschienen 1915 als Allgemeine Relativitätstheorie, die Krümmung der Raumzeit in der Umgebung eines nicht rotierenden Sterns abgeleitet. Wenig später berechnete er aus Einsteins Feldgleichungen auch die Raumzeitkrümmung innerhalb des Sterns. Beide Arbeiten legte er Einstein vor, der sie sofort begeistert veröffentlichte. Kurz darauf verstarb Schwarzschild an den Folgen einer Erkrankung, die er sich an der russischen Front zugezogen hatte.

Aus seinen Ableitungen folgte, dass es für jede Masse einen kritischen Radius gibt. Wird dieser unterschritten, existiert keine Kraft mehr in der Natur, die der Gravitation noch etwas entgegen setzen könnte. Unweigerlich setzt bei Erreichen dieser Ausdehnung der Kollaps zum Schwarzen Loch ein!

Dieser Schwarzschild- Radius beträgt beispielsweise für die Sonne lediglich 2,95 [km], für die Erde weniger als 1 [cm] und für einen Menschen gerade noch 10^-23 [cm].

Wenn wir also Sonne, Erde oder Mensch derart zusammen pressen würden, entstünde jeweils ein Schwarzes Loch! Allerdings können wir vorerst beruhigt sein, denn es ist keiner noch so großen Kraft möglich, aus unsereins Schwarze Löcher zu zaubern. Von derart großen Kräften kann man sich kaum eine Vorstellung machen. Oder können Sie sich einen Apparat denken, der den gesamten Eiffelturm zu einer Kugel von 1 [cm] Durchmesser zusammenstaucht? Das wäre nur ein Kinderspiel im Vergleich zu dem, was die Gravitation aus einem Stern machen kann (weiter unten können Sie leicht selbst berechnen, was die Gravitation mit dem Eiffelturm anstellen könnte)!

Man bezeichnet eine solche Grenze auch als Ereignishorizont, weil jedes hinter diesem Horizont stattfindende Ereignis einem außenstehenden Beobachter für ewig verborgen bleibt. Wir rekapitulieren: Photonen innerhalb dieser Grenze sind unendlich rotverschoben bzw. können sie nicht überwinden, weil sie nicht schneller als Lichtgeschwindigkeit fliegen, die Fluchtgeschwindigkeit im Innern aber darüber liegt.

Sterne mit einem inneren Kern von mehr als etwa 3 Sonnenmassen werden bei ihrem Schrumpfungsprozess den kritischen Radius unterschreiten. Die Eigengravitation dieser Masse ist so stark, dass es für die weitere Verdichtung des Sterns kein Halten mehr gibt. Der Zusammenbruch zum Schwarzen Loch ist nun endgültig und unausweichlich.

Schwarzschild- Radius

Die kritische Grenzgröße $r_{s}$ , der Schwarzschild- Radius, wird berechnet nach:

r_{s} = 2 \cdot G \cdot \frac{M}{c^{2}}

wobei $G$ die Gravitationskonstante ( $G$ = 6,67259 x 10^-11[m³kg^-1s^-2]), $M$ die Masse des Sterns und $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist.

Wie kommt man ausgerechnet auf diese Formel?
Wenn ein Teilchen ein Gravitationsfeld verlassen will, muss seine kinetische Energie größer als die potentielle Energie sein. Um nun die Entweichgeschwindigkeit aus einem Gravitationsfeld zu berechnen, das zum Beispiel von einem Planeten mit der Masse $M$ und dem Radius $r$ ausgeht, kann man die potentielle Energie $GM / r$ der kinetischen Energie $v^{2} / 2$ eines Teilchens mit einer angenommenen Masse von 1 gleichsetzen. Wenn die kinetische Energie des Teilchens größer ist, kann es entweichen. Löst man die Gleichung auf, erhält man als Entweichgeschwindigkeit $v = {(2 GM / r)}^{1 / 2}$ .

Bei einem Schwarzen Loch ist die Entweichgeschwindigkeit am Ereignishorizont gleich der Lichtgeschwindigkeit, also können wir $v = c$ setzen.
Das Ganze sieht dann so aus:

c^{2} / 2 = GM / r

$c^{2} = 2 GM / r$

$r c^{2} = 2 GM$

$r = 2 GM / c^{2}$

Hier haben Sie die Möglichkeit zur Berechnung des Schwarzschild- Radius eines Körpers beliebiger Masse. Geben Sie einfach die von Ihnen gewünschte Masse in [kg] ein. Dezimalstellen müssen Sie mit einem Punkt trennen, z.B. 785.33. Große Massen können Sie als Potenzzahl eingeben, und zwar in der Form

100 = 10² Eingabe : 1e2
1 000 000 = 10⁶ Eingabe : 1e6
0,001 = 10^-3 Eingabe : 1e-3
Einige Beispiele von Massen:

Mensch: 75 [kg]
Eiffelturm: 7.3e6 [kg]
Erde: 5.98e24 [kg]
Sonne: 1.99e30 [kg]
Stellares Schwarzes Loch: 3 Sonnenmassen = 6e30 [kg]
Supermassereiches Schwarzes Loch: 2e36 [kg]

Der Schwarzschildradius stellt also eine Grenze dar, mit der sich das Schwarze Loch vom Rest des Universums abschneidet. Unterhalb dieser Grenze kann kein Signal das Loch verlassen, ein außenstehender Beobachter kann deshalb kein Ereignis mehr erkennen. Sobald sich der Ereignishorizont ausgebildet hat, wird die Raumzeit in zwei Zonen unterteilt: Außerhalb des Horizonts können wir beliebig mit elektromagnetischen Wellen (Licht-, Radiowellen etc.) kommunizieren, Ereignisse beobachten usw. Innerhalb des Horizonts gelten jedoch andere Regeln. Signale können nicht mehr beliebig zwischen Ereignissen ausgetauscht werden, sondern müssen unausweichlich zum Zentrum eilen.

Nebenstehend ist ein Schwarzes Loch skizziert um zu verdeutlichen, dass der Ereignishorizont bzw. Schwarzschildradius dessen Ausdehnung bestimmt. Diese Größe ist ausschließlich von der Masse im Zentrum abhängig. Alles was sich innerhalb dieser Grenzen abspielt, bleibt uns für immer verborgen.

Damit befinden wir uns auch schon mitten im Schwarzen Loch. Zunächst stellt sich uns die Frage, was ist eigentlich aus dem Rest des Sterns geworden? Wir konnten ja nicht mehr sehen, ob er überhaupt noch weiter schrumpft. Stellen wir uns dazu vor, wir würden als "unzerstörbare" Beobachter den Kollaps des Sterns auf seiner Oberfläche miterleben. Zunächst werden wir nur bemerken, dass der Stern beginnt zu schrumpfen.

Die Geschwindigkeit der Kontraktion wird aber zunehmend schneller und schon bald erreichen wir den Ereignishorizont. Hiervon "spüren" wir jedoch rein gar nichts! Der Ereignishorizont ist ja keine materielle Grenze, die uns irgendwie behindern würde. Lediglich Informationen und leider auch wir können nicht mehr nach außen gelangen. Inzwischen haben wir tüchtig "Fahrt" aufgenommen, den Horizont haben wir nämlich bereits mit Lichtgeschwindigkeit überschritten. Und es wird immer schneller, der Stern zu unseren Füßen schrumpft unaufhörlich weiter, bis er schließlich einen Durchmesser von - Null erreicht hat! Das allerdings bekommen wir nur noch am Rande mit, denn kurz vor Erreichen dieses Punktes fallen wir mit Überlichtgeschwindigkeit. Das ist hier möglich, weil die Raumzeit völlig verzerrt ist und nichts mehr mit unserem gewohnten Universum gemein hat. In unserem "normalen" Dasein waren wir noch zeitartige Wesen, weil unser Leben uns durch die Zeit führte. Bei Überschreitung des Horizonts wurden wir lichtartig, da wir uns mit Lichtgeschwindigkeit bewegten und Zeit daher für uns keine Rolle mehr spielte. Auf unserem Weg zur Singularität sind wir nun raumartig geworden, wir haben tachyonische Eigenschaften angenommen, weil wir uns jetzt mit Überlichtgeschwindigkeit ins Abenteuer stürzen. Unsere Unzerstörbarkeit nutzt nun leider auch nicht mehr viel. Durch immer stärker werdende Gezeitenkräfte wird unser geschundener Körper zum Schluss unendlich in die Länge gezogen, wobei er auch noch unendlich dünn zusammen gequetscht wird. Wenn man mit den Füßen voran nach unten fliegt, so wirkt auf sie eine viel größere Anziehungskraft als auf den Kopf. Diese Gezeitenkräfte machen sich jetzt extrem bemerkbar. Am Ende sind selbst all unsere Atome bis zur Unendlichkeit verzerrt, wenn sie mit dem zentralen Punkt verschmelzen.

Der einstige Stern riesiger Ausdehnung ist zu einem (fast) unendlich kleinen Punkt geschrumpft. Diesen Punkt im Zentrum des Schwarzen Loches nennt man Singularität. Der Stern implodiert nach der Allgemeinen Relativitätstheorie zu einem Punkt unendlich kleiner Ausdehnung und unendlich hoher Dichte. Die Gravitation ist hier unendlich hoch, die Krümmung der Raumzeit ebenfalls, so dass sie aufhört zu existieren. Auch die Gezeitenkräfte werden in der Singularität unendlich: Gegenstände werden in der einen Richtung unendlich gedehnt und gleichzeitig in einer anderen Richtung unendlich zusammengepresst.

Die Unendlichkeiten der Singularität erhält man irrtümlich, wenn sie nur mit Hilfe der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben wird. Unendlichkeiten kommen in der Natur höchst selten vor (oder gar nicht), daher braucht man andere Hilfsmittel. Sicher ist, dass wir uns bei einer Singularität im Bereich der Quantenebene bewegen. Doch sie lässt sich nicht einfach mit der klassischen Quantenphysik beschreiben, weil die Gravitation hier alles dominiert. Im Innern Schwarzer Löcher haben alle unsere physikalischen Gesetze keine Gültigkeit mehr.

So ist man immer noch auf der Suche nach der Quantengravitation, einer Theorie, welche die Allgemeine Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik vereinigt. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Singularität vermutlich als Quantenschaum beschreiben mit einer Ausdehnung von 10^-33 [cm], der so genannten Planck- Wheeler- Länge. Man stellt sich vor, dass der Raum der Singularität auf diesen winzigen Skalen nicht mehr glatt ist, so wie wir ihn normalerweise kennen, sondern eher rau und eine zufällige, schaumartige Struktur aufweist. Genauso ist es möglich, dass wir es hier neben den vier gewohnten mit weiteren, zusätzlichen Dimensionen zu tun haben. Die Topologie des Quantenschaums ist nicht mehr fixiert, sondern wird nur noch durch Wahrscheinlichkeiten beschrieben.

Bevor wir uns weiter mit dem Innern Schwarzer Löcher beschäftigen, müssen wir nochmals zurück zum Ausgangspunkt, zu dem Moment also, an dem der Stern beginnt zu kollabieren. Zum Glück brauchen wir nun aber den Höllenritt auf dem Stern nicht selbst durchzustehen, sondern wir überlassen das einem abgehärteten Astronauten. Dieser hat eine Uhr mitgenommen, die völlig synchron mit unserer Borduhr geht. Während wir in sicherem Abstand den Stern umkreisen, beginnt nun dessen Kollaps. Zusätzlich sendet die Uhr des Astronauten jede Sekunde ein Funksignal aus, so dass uns seine Zeit stets bekannt ist.

Zu Beginn der Kontraktion winkt uns der Astronaut noch schnell fröhlich zu und wir sehen, dass beide Uhren exakt dieselbe Zeit anzeigen. Wir beobachten die Schrumpfung, die nun immer schneller erfolgt. Nach unserer Berechnung erreicht der Stern exakt um 8:30 Uhr den kritischen Radius. Bis 8:29 Uhr können wir nichts Besonderes bemerken, die Uhren laufen synchron und der Astronaut schrumpft weiter mit dem Stern. Das bleibt auch so bis 8:29 Uhr und 59 Sekunden. Nun ändert sich aber alles dramatisch: Das 8:30 Uhr Signal trifft nicht mehr bei uns ein! Die Lichtwellen des Sterns (und die vom Astronauten) kommen in immer größeren Abständen an, je mehr sich der Stern dem Ereignishorizont nähert. Das bedeutet, dass die Lichtsignale immer röter werden (Rotverschiebung). Jetzt haben wir sehr viel Geduld aufzubringen, denn es wird unendlich lange dauern, bis der arme Astronaut im sich bildenden Schwarzen Loch verschwindet! Sehen könnten wir das leider nie, denn aufgrund des immer röter und gleichzeitig auch dunkler (weil energieärmer) werdenden Lichts würden wir den Astronauten gar nicht mehr sehen. Wir könnten lediglich ein Anwachsen des Horizonts feststellen, weil das Schwarze Loch ja um eine "Astronautenmasse" größer geworden ist.

Der Astronaut bekommt davon natürlich nichts mit. Er "erlebt" denselben Vorgang, wie wir ihn zuvor auf unserer Reise beobachteten. Seine Uhr geht völlig normal, und um Punkt 8:30 Uhr passiert er den Ereignishorizont, um Sekundenbruchteile später lang gezogen wie eine Spaghetti in der Singularität zu verschwinden.

Wieso diese Unterschiede aus den beiden Blickwinkeln?

Die gravitative oder relativistische Rotverschiebung des Lichts (und aller anderen elektromagnetischen Wellen) haben wir schon kennen gelernt. Bis jetzt wurde aber die Zeit noch nicht berücksichtigt! Gravitation, wenn sie genügend stark ist, kann merklich die Zeit beeinflussen, und zwar verlangsamen. Es handelt sich dabei um die gleiche Zeitdehnung, wie sie spürbar wird, wenn man sich der Lichtgeschwindigkeit nähert. Wenn sich nun der Ereignishorizont um den Stern schließt, so tritt derselbe Effekt ein, als wenn man sich mit exakt Lichtgeschwindigkeit bewegen würde: Für einen außenstehenden Beobachter bleibt die Zeit im betrachteten System stehen! Auch deshalb dauert es für uns unendlich lang, bis der arme Astronaut im Loch verschwindet. Er ist nun lichtartig geworden und ist damit wie ein Photon ohne Zeit.

Hier ist als Raumzeitdiagramm der Kollaps eines Sterns dargestellt. Wir sehen, wie der Radius von unten beginnend, im Laufe der Zeit ständig kleiner wird. Lichtstrahlen können den Stern noch problemlos verlassen (eingezeichnet sind auch Lichtkegel, die sich vorerst noch in unserem Universum entfalten können). Wenn der kritische Radius erreicht ist, wird die Krümmung der Lichtkegel nach innen so groß, dass Licht nicht mehr entkommen kann. Wir sehen einen Lichtstrahl, der in diesem Moment emittiert wurde (rechts) und einen, der nach Schließen des Horizonts entstand (links). Letzterer kann nun nicht mehr entweichen, sondern wird zur Singularität hin gezwungen. Die Fluchtgeschwindigkeit ist gleich oder größer als die Lichtgeschwindigkeit. Geodäten von massebehafteten Teilchen, die sich noch außerhalb des Horizonts befinden, sind zeitartig. Das heißt, ihre Weltlinien liegen innerhalb eines Lichtkegels. Exakt auf dem Horizont sind sie lichtartig, da sie sich hier bereits mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Im Schwarzen Loch selbst werden die Weltlinien raumartig, Zeit verliert hier ihre Gültigkeit und das Teilchen rast mit Überlichtgeschwindigkeit auf die Singularität zu. Innerhalb des Lochs ist das möglich, weil die uns bekannte Raumzeit nicht mehr existiert.
Anzumerken ist an dieser Stelle, dass der Kollaps eines Sterns nur modellhaft beschrieben wurde. In der Realität kontrahiert ja zuerst das im Vergleich zum übrigen Stern kleine Zentrum zu einem Schwarzen Loch, und das innerhalb von Sekundenbruchteilen. Es hat sich also längst gebildet, wenn wir von außen immer noch auf die glühende Hülle sehen und vielleicht noch nicht einmal erahnen können, welche Katastrophe sich im Innern abspielte.

Weitere Informationen: http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_e05.html#ereig