Bertrands Paradox

[Pippen]

https://www.youtube.com/watch?v=xy6xXEhbGa0

Interessantes Video zu einem Wahrscheinlichkeitsparadoxon, aber ist es korrekt, wenn die da auf 3/8 und nicht 4/9 kommen (nur die ersten beiden Minuten anschauen)?

[tomS]

Ich halte die Umformulierung in dem Video für schlecht. Schau dir lieber mal die englische Wikipedia an:

https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_ ... obability)

Das Paradoxon resultiert ja aus dem Indifferenzprinzip (= dem Prinzip vom unzureichenden Grunde), dass ohne weitere keine Kenntnisse bzgl. der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen diese als gleich wahrscheinlich anzusetzen sind. Nun sind jedoch die Wahrscheinlichkeiten nicht eindeutig definiert, wenn der Begriff "gleichwahrscheinlich" für die Zufallsvariable nicht eindeutig definiert ist.

Wo das Problem liegt kannst du anhand der Graphiken in der Wikipedia erkennen.

Ich verstehe bei diesem Paradoxon letztlich nicht, was genau daran paradox sein soll. Wenn ich zu wenig weiß, dann kann ich keine vernünftigen Aussagen treffen. Wenn ich fast gar nichts weiß, dann setze ich das Indifferenzprinzip an und vermute, dass die Wahrscheinlichkeiten gleichverteilt sind. Es kann sein, dass dies nicht funktioniert, z.B. wie im Falle des Paradoxons von Bertrand noch nicht mal klar ist, wie "gleichverteilt" definiert werden soll. Mein Fazit ist, dass wir so wenig wissen, dass das Indifferenzprinzip nicht eindeutig anwendbar ist.

Es gibt andere Fälle, wo das Indifferenzprinzip ebenfalls versagt, z.B. bei Zufallszahlen auf einer unendlichen Menge; hier existiert mathematisch die Gleichverteilung nicht. Nehmen wir an, wir wüssten nichts über die physikalischen Eigenschaften von Planeten, möchten jedoch Wahrscheinlichkeitsaussagen über Planeten mit Lebensformen treffen. Das Indifferenzprinzip fordert, dass wir jedem Planeten eine identische Wahrscheinlichkeit zuordnen, dort Leben anzutreffen. Dies ist jedoch mathematisch nicht möglich. Hier ist mein Fazit ist, dass das Indifferenzprinzips überhaupt nicht anwendbar ist.

Das Problem in beiden Fällen ist lediglich mangelndes Wissen.

[Pippen]

Sehe ich genauso.

[Skeltek]

Wenn man die möglichen Positionen der Mittelpunkte der Quadrate farblich markiert, erhält man für die Quadrate mit Seitenlänge 2 eine Linie, während man für die Quadrate mit Seitenlänge 1 eine Fläche erhält.
So gesehen gibt es unendlich mal mehr Möglichkeiten, Quadrate der Seitenlänge 1 heraus zu schneiden - dabei ist die Möglichkeit diese gedreht heraus zu schneiden noch gar nicht berücksichtigt. Da wäre die Qahrscheinlichkeit für ein kleines Quadrat unendlich viel größer und somit 1, während der andere gegen 0 geht.

Andererseits fräst die Maschine bei alternativem Beispiel auch einfach solange an dem Werkstück heraus, bis zufällig exakt ein Quadrat der Seitenlänge 1 oder 3 heraus kommt. Dabei wird einfach nur ein Mechanismus eingebaut welcher verhindert, daß Stücke heraus gefräst werden, die eine mögliche Lösung völlig verhindern. Jetzt kann der Mechanismus sich bis er eine mögliche Lösung erreicht beide Lösungen als potentiel erreichbar offen halten oder auch nicht. In ersten Fall bekommt sie immer große Quadrate heraus, im zweiten Fall immer nur kleine.