positronium hat geschrieben: ↑17. Jan 2018, 10:54
Bedeutet das, dass die Multiplikation normierter Quaternionen in 4D eine höherdimensionale Variante der Multiplikation normierter komplexer Zahlen in 2D ist?
Hallo positronium,
warum so kompliziert ?
Du hast die reellen Zahlen IR.
Nun kann man sich die Frage stellen, ob man die "grösser" machen kann, also eine echte Körpererweiterung vornehmen kann.
Das klappt tatsächlich, beispielsweise durch durch "Hinzunahme" einer sogenannten imaginären Einheit.
Die Addition erfolgt komponentenweise, das ist ohnehin kein Problem, das ist und bleibt eine kommutative Gruppe (wie auch bei einem Vektorraum).
Die Multiplikation kann man für gemischte Faktoren als Vielfachenbildung definieren, auch das ist kein Problem, aber die Multiplikation "untereinander" muss konsistent durchgeführt werden. Bei Hinzunahme nur einer solchen imaginären Einheit muss man nur eine Vorschrift zusätzlich definieren, und das ist die Vorschrift i*i = ?
Wenn man dieses negativ setzt und zu 1 normiert hat man alle gewünschten Eigenschaften => i*i = -1.
Wir sind jetzt also nicht den "üblichen" Weg gegangen und haben uns gefragt, was die Quadratwurzel von -1 ist - genauer: was die Lösung der quadratischen Gleichung x²+1=0 ist, sondern wir haben uns gefragt, was man hinzu-"adjungieren" kann, so dass die Struktur möglichst gut erhalten bleibt. Die Körperstruktur bleibt erhalten, man verliert aber die Anordbarkeit.
Kann man weitere imaginäre Einheiten adjungieren, d.h. wie sieht die Struktur IR(i,j) aus ?
Bezüglich der Addition ist es wieder kein Problem, bezüglich der Vielfachenbildung auch nicht. Alles wie gehabt.
Aber eben - die Multiplikation untereinander ist ein Problem und tatsächlich hatte man das zunächst vergeblich versucht, ehe Mitte des 19.Jahrhunderts der Durchbruch gelang, indem man das Produkt der beiden imaginären Einheit zu einer dritten imaginären Einheit k gesetzt hat. Wenn einem dieser rein-algebraische Anssatz nicht gefällt kann man das - analog wie bei den komplexen Zahlen - auch so formalisieren, dass man diese neuen Zahlen als 2x2-Matrizen mit geeigneten Zusatzeigenschaften beschreibt; man kann einfach zeigen, dass die beiden resultierenden Mengen
isomorph sind.
Wie zuvor gesehen verliert man aber die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation und damit den Hauptsatz der Algebra.
Wenn man solche Inhalte in der Algebra üben will, dann geht man natürlich nicht gleich mit dem Kopf durch die Wand und adjungiert Zahlen, die gar nicht auf der Zahlenachse liegen, sondern man studiert den Körper der rationale Zahlen und adjungiert dazu irrationale Zahlen, die aber auf der Zahlengeraden liegen, z.B. die Quadratwurzel(2), doie ich nachfolgend mit sqrt(2) ["
square-
roo
t(2)"] abkürze. Dann ist also IQ(sqrt(2)) die Menge aller Zahlen der Form p+q*sqrt(2). Die Addition erfolgt komponentenweise, die Multiplikation untereinander ist trivialerweise sqrt(2)*sqrt(2)=2 und die Division führt man durch, indem man mit p-q*sqrt(2) erweitert und dabei beachtet, dass (p+q*sqrt(2))*(p-q*sqrt(2)) = p² - 2*q², welches eine rationale Zahl ist, gilt.
Wenn man das dann hinlänglich studiert hat adjungiert man die Quadratwurzel von 3 ("sqrt(3)") dazu und stellt dann ähnlich wie bei den Quaternionen fest, dass man bei der Produktebildung auch noch die Quadratwurzel(6) ("sqrt(6)") benötigt, da sqrt(2)*sqrt(3)=sqrt(6) ergibt.
Da wir uns die ganze Zeit innerhalb der reellen Zahlen bewegen verlieren wir nicht die Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation, so dass der Hauptsatz der Algebra gültig bleibt.
Freundliche Grüsse, Ralf