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von tomS » 17. Apr 2020, 23:10
Wenn man die Abschnitte der Bahn bei maximalem Radius ansieht, erscheinen diese in sehr guter Näherung wie rotierte Ellipsen; insgesamt handelt es sich natürlich um eine durchgehende Rosettenbahn. Die Abweichung von der Ellipse und damit die Rotation ist bei kleinen Radien am größten.
Die Periheldrehung je Umlauf berechnet sich zu
Δφ ≈ 6πG(M+m)/c²A = 6π · GM/c² · (1+x) / A
wobei ich eine kreisförmige Bahn annehmen; A entspricht der großen Halbachse, x = m/M
D.h. der Effekt tritt für beliebige Planeten auf.
1) Vergleicht man unterschiedliche Planeten mit unterschiedlichem A für die selbe Zentralmasse, so ist
Δφ ≈ 6π · GM/c² / A ~ 1/A
d.h. der Effekt ist in guter Näherung umgekehrt proportional zur großen Halbachse A. Deswegen ist der Effekt für Merkur am größten und wird für weitere Planeten immer kleiner.
2) Bei zunächst festem A ist der Effekt in guter Näherung proportional zur Zentralmasse M
Δφ ≈ 6π · GM/c² / A ~ M
Der Effekt wächst also mit wachsender Zentralmasse M und abnehmender großen Halbachse A.
3) Betrachtet man sehr enge Bahnen, so ist es sinnvoll, die großen Halbachse A = aR als Vielfache des Schwarzschildradius
R = 2GM/c²
auszudrücken, d.h.
Δφ ≈ 3π R/A = 3π/a = 3/2a · 360°
Für kleine a trifft die obige Näherung nicht mehr zu; dennoch erkennt man, dass der Effekt im Bereich einiger weniger Schwarzschildradien tatsächlich sehr groß wird.
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
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