Ich möchte nochmals auf das o.g. Beispiel zurückkommen:
tomS hat geschrieben:Gegeben sei nun ein beliebiges Koordinatensystem, und in diesem Koordinatensystem ein beliebiger Beobachter mit Vierergeschwindigkeit
uμ = (u0, ui)
ω = uμ kμ
Betrachten wir den selben Beobachter sowie das selbe Lichtsignal in einem anderen Koordinatensystem. Es gilt
ω = u'μ k'μ
für beliebige Koordinatensysteme.
Es liegt ein Lichtsignal k und ein beliebiger, jedoch fester Beobachter u vor. Dieser Beobachter misst eine Frequenz ω. In der o.g. Formel zur Berechnung von ω ist der kinematische Dopplereffekt sozusagen automatisch eingebaut. Das Koordinatensystem ist dabei i.A. nicht mit dem Ruhesystem des Beobachters identisch (die räumlichen Komponenten u
i verschwinden nicht). Natürlich könnte es dem Ruhesystem eines weiteren, hier nicht genannten Beobachters entsprechen.
Ich möchte nun auf den Unterschied zwischen i)
Beobachter- und ii)
Koordinatenabhängigkeit eingehen.
i) Ein
anderer Beobachter B hätte bzgl. des selben Koordinatensystems eine
andere Vierergeschwindigkeit u
B. Er würde für das selbe Lichtsignal k eine
andere Frequenz ω
B messen.
in) Der
selbe Beobachter wie oben (ohne oberen Index B) hätte bzgl. eines anderen Koordinatensystems eine andere Vierergeschwindigkeit u'. Er würde für das selbe Lichtsignal k' jedoch wieder die
selbe Frequenz ω messen.
Es ist wichtig, diesen Unterschied zu verstehen. Er wird leider in vielen Darstellungen zur SRT und zur LT völlig verwischt. Während der Übergang zwischen zwei Beobachtern einen physikalischen Unterschied ausmacht - zwei verschiedene Beobachter erhalten zwei unterschiedliche Messergebnisse - ist der Übergang zwischen zwei Koordinatensystemen physikalisch völlig irrelevant - für die vom selben Beobachter gemessene Frequenz erhält man aus Berechnungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen den selben Wert ω.
Um das zu verstehen, muss man m.E. die o.g. Formulierung verwenden, so dass der Unterschied zwischen der gemessene Frequenz ω und der 0-Komponente k
0 klar wird. Außerdem muss unterscheiden zwischen der Einführung eines
neuen Beobachter mit u
B einerseits und der LT des
alten Beobachters zu u'.
Das ganze ist so verwirrend, weil (in der SRT) häufig gesagt wird, dass man in das Bezugsystems eines anderen Beobachters mittels LT transformiert. Das ist zwar mathematisch korrekt, hat jedoch physikalisch einen anderen Gehalt.
Um das zu zeigen gehe ich nochmal aus von der ursprünglichen Gleichung
ω = u
μ k
μ
Nun betrachten wir wieder die zwei Fälle mit i)
anderem Beobachter B sowie ii)
selbem Beobachter jedoch anderem Koordinatensystem.
Für i) bzw. ii) gilt
ω
B = u
Bμ k
μ
ω = u'
μ k'
μ
i) Konstruiert man nun den neuen Beobachter B mittels LT, so wirkt letztere nur auf u, nicht jedoch auf k; ii) kostruiert man ein neues Koordinatensystem mittels LT, so wirkt letztere auf u und k. In diesem Sinne ist i) physikalisch relevant, da eine physikalisch andere Situation mit neuem Beobachter beschrieben wird, ii) physikalisch irrelevant, da weiterhin die selbe Situation vorliegt.
[Betrachtet man die Koordinatensysteme K, K', K'', ... im Sinne (ii) als Ruhesysteme weiterer gedachtet Beobachter C, C', C'', ..., so bedeutet die LT im Falle (ii), dass alle diese gedachten Beobachter darin übereinstimmen, dass der reale Beobachter die Frequenz ω misst.]
Die verallgemeinerte Invarianz unter Koordinatentransformationen, in der ART die
Diffeomorphismeninvarianz, bedeutet, dass die Observable ω unter beliebigen Diffeomorphismen invariant ist, d.h. dass die Berechnung in beliebigen Koordinatensysteme K, K', K'', ... immer zum selben Wert ω führt.
Nochetwas zur Verwirrung bzgl. LT.: In der SRT werden LTs zwischen verschiedenen Beobachtern sowie verschiedenen Koordinatensystemen oft gleichgesetzt (zur Kritik s.o.). In der ART muss man Koordinatentransformationen = Diffeomorphismen einerseits sowie Lorentztransformationen andererseits sauber trennen. Letztere kann lediglich dazu dienen, zwischen zwei Koordinatensystemen mit Ursprung am selben Ort der Raumzeit zu transformieren (lokale Rotationen und Boosts). Allerdings ist die Gruppe der Lorentztransformationen in diesem Sinne nur eine winzige Untergruppe der Diffeomorphismen, die keiner Einschränkung außer ausreichender Glattheit unterliegen, und die insbs. keinen Bezug zu Beobachtern haben müssen.