Widerlegung der Beweisbarkeit von unendlichen Mengen

[Pippen]

@toms:

Wenn "P → A(x)" eine wahre Formel ist, und wenn P die Subjektvariable x nicht enthält, dann ist auch "∀x (P → A(x))" eine wahre Formel.

So klingt das plausibel und das kann ich akzeptieren. ABER: Wie hilft dir das beim Beweis, dass alle nat. Zahlen Nachfolger haben?

Das Peano-Axiom sagt: ∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N. Daraus läßt sich für alle n (direkt) beweisen, dass aus n sogleich n+1 folgt und dass n+1 eine natürliche Zahl ist. Nicht beweisen läßt sich aus dem Axiom, dass und was aus n+1 folgt (denn n und n+1 sind ungleiche Objekte!). Doch n+1 ist bewiesernermaßen eine natürliche Zahl (s.o.), so dass der Beweis bis hierher noch unvollständig - weil nicht für alle nat. Zahlen geltend - wäre: Es wäre zwar für alle n gezeigt, dass sie einen Nachfolger haben, aber nicht für alle n+1. Dazu braucht man einen neuen Beweis, für den man n=n+1 setzt (oder sonstwie klarmacht, dass "n+1 auch unter n fällt") und dann das Axiom wieder anwendet und sofort taucht ein neues Problem mit n+1+1 analog auf und so kommt es zu "meinem" Regressproblem. Was hilft dir hier die Generalisierung, wenn n und n+1 zwei verschiedene Dinge sind?

[tomS]

@toms:

Wenn "P → A(x)" eine wahre Formel ist, und wenn P die Subjektvariable x nicht enthält, dann ist auch "∀x (P → A(x))" eine wahre Formel.

So klingt das plausibel und das kann ich akzeptieren.

Schön. Ich habe nie etwas anderes behauptet ;-)

[tomS]

Was hilft dir hier die Generalisierung, wenn n und n+1 zwei verschiedene Dinge sind?

Das ist gerade der Kerngedanke der Generalisierung, dass du eben den Beweis nicht für ein einzelnes Objekt sondern auf einen Schlag für alle (auch verschiedene) Objekte geführt hast.

Wenn "P → A(x)" eine wahre Formel ist, und wenn P die Subjektvariable x nicht enthält, dann ist auch "∀x (P → A(x))" eine wahre Formel.

So klingt das plausibel und das kann ich akzeptieren.

Hier sagst du doch, dass du es akzeptierst.

Und nochmal: mach dir bitte mal an meinem Beispiel "n ungerade => n² ungerade" klar, dass es funktioniert, und dass du kein Gegenargument hast.

[Skeltek]

@toms:

Wenn "P → A(x)" eine wahre Formel ist, und wenn P die Subjektvariable x nicht enthält, dann ist auch "∀x (P → A(x))" eine wahre Formel.

So klingt das plausibel und das kann ich akzeptieren. ABER: Wie hilft dir das beim Beweis, dass alle nat. Zahlen Nachfolger haben?

Verstehe das Problem nicht ganz. Wenn sie keinen Nachfolger haben, dann wären es doch keine natürlichen Zahlen? Solltest du nicht beweisen, daß aus dem Axiom folgt, daß es keine natürliche Zahl ohne Nachfolger gibt? Der Beweis wäre durch A->A praktischerweise sogar trivial eine Implikation nullter Stufe.
Daß man zu jedem konstruierten Nachfolger einen Nachfolger definieren kann haben wir doch willkürlich festgelegt?

[Pippen]

Das ist gerade der Kerngedanke der Generalisierung, dass du eben den Beweis nicht für ein einzelnes Objekt sondern auf einen Schlag für alle (auch verschiedene) Objekte geführt hast.

ME nein, denn:

Wenn "P → A(x)" eine wahre Formel ist, und wenn P die Subjektvariable x nicht enthält, dann ist auch "∀x (P → A(x))" eine wahre Formel.

Dort wird zB nur x generalisiert, nicht ein x+1. Das müsste extra, d.h. in einem neuen Generalisierungsschritt, wiederum generalisiert werden und dann x+1+1 und so weiter. Denn das sind alles verschiedene Objekte, die man nicht so einfach zusammenwerfen und für alles generalisieren kann. Und dadurch gilt konkret auf unsere Fragestellung folgendes:

Das Peano-Axiom sagt: ∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N. Daraus läßt sich für alle n (direkt) beweisen, dass aus allen n sogleich n+1 folgt und dass alle n+1 natürliche Zahlen sind (Generalisierung) Nicht beweisen läßt sich aus dem Axiom und mit diesem Schritt, dass und was wiederum aus n+1 folgt (Denn n und n+1 sind ungleiche Objekte! Nur weil bisher aus n -> n+1 folgt heißt das nicht, dass auch aus n+1 -> n+1+1 folgt!), d.h. man müsste neu beweisen: ∀n+1: n+1 ∈ N -> n+1+1 ∈ N (oder man müsste für den Beweis die Variable 'n' neu festlegen, so dass sie auch alle 'n+1' enthält). Und so entsteht wieder das Regressproblem. Die Generalisierungsregel hilft dir hier nicht, weil du immer nur für bestimmte Variablen generalisieren kannst (zB n & n+1), die nicht alle natürlichen Zahlen umfassen (zB n+1+1), so dass du dafür neue Variablen brauchst (eben n+1+1), die wieder eine Generalisierung benötigen, aber wieder nicht alle natürlichen Zahlen umfassen (zB n+1+1+1) usw. usf. Wenn es tatsächlich unendlich viele natürliche Zahlen gäbe, dann kämst du jedenfalls mit dem Beweisen nicht hinterher, sondern müsstest irgendwann informal sagen: Ach, kommt, das geht jetzt bestimmt immer so weiter! (und das wäre eine unmathematische Annahme^^).

@skeltek: Ich hoffe, damit wird auch für dich klarer, wo mein Problem liegt.

[tomS]

Mir ist nur klar geworden, dass du die Generalisierung letztlich nicht verstehst

Dort wird zB nur x generalisiert, nicht ein x+1.

y = x+1 ... und schon bist du fertig.

[Skeltek]

@skeltek: Ich hoffe, damit wird auch für dich klarer, wo mein Problem liegt.

Werde mal eine Nacht drüber schlafen. Du scheinst nicht auzuschließen, daß Die "Kette" ab einem Element "im unendlichen" auf eine paralelle Zahlenklasse abdriftet?
Naja, erstmal drüber schlafen.

[tomS]

Hab' auch darüber geschlafen.

Mir fällt keine weitere Möglichkeit der Erklärung ein. Für mich ist das "offensichtlich klar", d.h. ich verstehe das grundsätzliche Problem wohl gar nicht wirklich; ich vermisse auch immer noch ein Beispiel, wo diese Beweismuster (Generalisierung, Induktion, ...) nicht funktionieren sollen. Wir haben diverse Beweise durchexerziert, immer mit dem selben Ergebnis: das bewiesene Theorem ist offensichtlich korrekt, aber der Beweis wird angezweifelt

Nochmal zu meinem Beispiel "für alle n aus N gilt: wenn n ungerade, dann auch n[up]2[/up] ungerade"

Wir hatten das mittels Generalisierung bewiesen (was angezweifelt wurde); man kann dies auch mittels vollständiger Induktion beweisen; wollen wir uns das mal anschauen?

[seeker]

Pippen, dein x ist doch nicht festgelegt und auch nicht EINE Zahl.
Da x(1)+1 = x(2) gilt, kannst du jedes x+1 durch ein neues x ersetzen.
Somit gilt der Beweis für alle wählbaren x und muss nicht auch noch für alle x+1 extra geführt werden.
Ich glaube dein Problem bzw. dein Vorbehalt hängt eher mit den Konzepten "Endlichkeit", "aktuale Unendlichkeit" und "potentielle Unendlichkeit" zusammen.
Das Problem bei der Menge N ist eher, dass du prinzipiell nicht alle Elemente kennen oder aufschreiben kannst.
Du kannst dort nur beliebig viele Elemente kennen.
Bei endlichen Mengen kannst du das. So kannst du z.B. bei der Menge M = {1,2,3,4,5} direkt ablesen, dass sie ein größtes Element hat, das keinen Nachfolger hat.
Bei N ist ein indirekteres Vorgehen notwendig, was die Sache ein wenig unsicherer macht, da du weitere Annahmen bzw. ein erweitertes Konzept brauchst.
Das beutet aber nicht, dass dieses erweiterte Konzept fehlerhaft wäre, sondern nur, dass es erweitert ist.
Vielleicht macht dir das ein wenig Bauchweh?

Der besprochene Beweis bei N sagt übrigens m.E. auch nicht aus, dass N aktual unendlich viele Elemente hätte...

Grüße
seeker

[Skeltek]

A(n)->B(n+1) macht nicht die geringste Aussage über das n, sondern sie stellt eine Aussage zu der Relation(also leienhaft den Abstand) zwischen zwei durch die Operation "+1"verbundenen Elementen dar.
Es ist keine Aussage zu einem unbestimmten n, sondern über die Verhältnissart zwischen jeweils zwei benachbarten Elementen, die keine lokalisierte Eigenschaft ist.
Es sagt nur aus, dass das Verhältniss bzw die Existenz der Relation eine bestimmte Eigenschaft/Klassifikation von einem auf das andere verbundene Element überträgt.

[tomS]

Also nochmal kurz und knapp ein Beispiel für vollständige Induktion:

Definition: Sei n ∈ N; n heißt ungerade, wenn es eine Zahl k ∈ N gibt, so dass gilt: n = 2k + 1;
Behauptung: "∀n ∈ N gilt: wenn n ungerade, dann ist auch n² ungerade;
Beweis mittels vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: zu zeigen ist, dass für k=0 sowohl n als auch n² ungerade;
trivial, da für k=0: n = 2*0+1 und n² = (2*0+1)² = 1² = 1;
Induktionsvoraussetzung: (2k+1)² ungerade;
Induktionsschritt von k auf k+1: zu zeigen ist, dass wenn n²=(2k+1)² ungerade, dann ist auch (n+2)² = [2(k+1)+1]² ungerade;
[2(k+1)+1]² = [(2k+1) + 2]² = (2k+1)² + 2*2*(2k+1) + 2² = (2k+1)² + 2*[2*(2k+1) + 2] = (2k+1)² + 2*[...]
Der zweite Term ist gerade, da von der Form 2*[...]
Der erste Term ist ungerade, da gemäß Induktionsvoraussetzung (2k+1)² ungerade;
q.e.d.

Das Prinzip ist wieder das selbe: es existiert ein Beweismuster, das in endlichen vielen Schritten einen Beweis für unendlich viele Elemente aus N ermöglicht.

Aus Wikipedia: Um zu beweisen, dass ein Satz für alle natürlichen Zahlen n ≥ m gilt, genügt es zu zeigen, dass er für ein n = m gilt, und dass aus der Gültigkeit des Satzes für eine Zahl n ≥ m stets seine Gültigkeit auch für die folgende Zahl n+1 folgt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3% ... Definition

[Pippen]

Somit gilt der Beweis für alle wählbaren x und muss nicht auch noch für alle x+1 extra geführt werden.

Doch! Und deshalb scheitert (aus meiner gegenwärtigen Warte) auch tomS' Generalisierung.

Das Peano-Axiom Nr. 2 sagt: "n ∈ N -> n+1 ∈ N" und es geht um die Frage, ob daraus folgt, dass N unendlich viele Elemente hat. TomS generalisiert (korrekterweise!): "∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N". Jetzt komme aber ich und sage: So what, das ist kein Beweis, dass alle natürlichen Zahlen einen Nachfolger haben, denn laut deiner Formel "∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N" wäre "n+1" eine natürliche Zahl, hat aber keinen Nachfolger! Den Nachfolger hat nur "n"! Und "n+1" kann eben nicht in "n" eingesetzt werden (Rekursion), weil das zwei ungleiche Objekte sind. Das ginge erst dann, wenn in einem weiteren Schritt, "n" und "n+1" kompatibel gemacht würden, zB durch die Zwischendefinition, dass "n" auch "n+1" als Teilmenge enthält. Aber dann taucht das Problem sofort wieder auf, diesmal mit "n+1+1"...und man wird - unter der Annahme unendlich vieler nat. Zahlen - niemals fertig damit, and so does the proof stay unfinished.

TomS' letzten Induktionsbeweis würde ich daher folgendermaßen kritisieren: Du beweist nur, dass wenn n ungerade, dann auch n². Aber das gilt nicht für alle natürlichen Zahlen, sondern nur für irgendwelche beliebigen, denn "n+1" ist eine natürliche Zahl, wird aber von deinem Beweis nicht erfasst! Ich sehe da kein "n+1", aber ich weiss, dass "n+1" weder gleich "n" noch gleich "n²" ist, also fehlt da der Nachweis für "n+1". Natürlich würde tomS (zu Recht) mit den Augen rollen und könnte einfach weiter definieren, so dass letztendlich auch "n+1" unter "n" fällt, aber dann mache ich einfach immer so weiter mit dem "Ärgere den Tom"^^ und komme mit "n+1+1" usw. usf. Niemals wird er eine formal "perfekte" Beweisform präsentieren können.

Mein Einwand lautet also ganz allgemein: So wie wir Unendlichkeit definieren - als n -> n+1 - können wir immer nur beweisen, dass "da noch eins dahinter kommt", aber niemals, dass da immer und für alle "eins dahinter kommt". Das ginge nur mit der Definition: Es gibt unendlich viele nat. Zahlen nach dem Schema: n -> n+1. Dann wäre ich überzeugt, dass es unendlich viele gäbe, weil man es streng beweisen könnte (denn es ergäbe sich aus der Definition!). Genaus deshalb erkenne ich auch Induktionsbeweise "nur" als unvollständige Induktionsbeweise an und ich hoffe, ich konnte zumindest erläutern, warum ich das wirklich so sehe und nicht etwa herumtrolle.

[tomS]

Es geht nicht darum, dass du herumtollst.

Aber deine Einwände kann ich nicht nachvollziehen.

[Skeltek]

Ja das mag sein, aber die Differenz der beiden Mengen ist nicht existent.
Du kannst ja auch nicht bei [lim(Summe[von 0 bis n]n->unendlich von 1/2*sin(n*Pi))] sagen, der eingespannte Flächeninhalt sei ein Wert im Intervall [0,1].
Es ist weder 1, noch 0 noch sonstetwas. Er ist einfach nicht existent.
Du kannst nicht die Anzahl der Elemente _n+1_ ohne Nachfolger von der Zahl abhängig machen, die dir die Summe liefert.

[tomS]

Das Peano-Axiom Nr. 2 sagt: ": "∀n ∈ N -> n+1 ∈ N" ... Jetzt komme aber ich und sage: das ist kein Beweis, dass alle natürlichen Zahlen einen Nachfolger haben, denn laut deiner Formel "∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N" wäre "n+1" eine natürliche Zahl, hat aber keinen Nachfolger.

"n+1" ist eine natürliche Zahl, das folgt aus dem Axiom.

Und "n+1" hat einen Nachfolger, das folgt trivialerweise auch aus dem Axiom. Demzufolge hat nämlich JEDE natürliche Zahl einen Nachfolger, also auch n+1.

Und sogar n+4711 hat einen Nachfolger.

Du hast einfach ein ganz elementares Verständnisproblem mit fundamentalen Strukturen der Mathematik - sorry, dass ich das so sagen muss.

[seeker]

Und "n+1" hat einen Nachfolger, das folgt trivialerweise auch aus dem Axiom. Demzufolge hat nämlich JEDE natürliche Zahl einen Nachfolger, also auch n+1.

Ich glaube, dass daraus nur die potentielle Endlichkeit von N folgt.
Denn: Hätte ich es mit einer (abgeschlossenen) aktual unendlichen Menge zu tun und würde ich fordern, dass in x JEDES Element von N eingesetzt werden darf bzw. x (von Anfang an!) für ALLE Elemente von N steht, dann kann es kein x+1 geben, denn alle Elemente von N wären schon für x verbraucht bzw. reserviert.
D.h.: Ich glaube, wenn man N dennoch als Menge mit aktual unendlich vielen Elementen verstehen will, dann ist das implizit schon eine a priori-Definition und folgt nicht aus ∀n ∈ N -> n+1∈ N.

Sehe ich da etwas falsch?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Hab ich das jetzt richtig verstanden, daß das letzte Glied der Kette n_final keinen Nachfolger hat?
Theoretisch ist ja kein einziger Nachfolger von n_final eine natürliche Zahl.
Eigentlich spielt es auch keine Rolle ob n_final sich am "Ende" der natürlichen Zahlenkette oder genau "in der Mitte" der Kette befindet.
Solange es keine Auswahlfunktion gibt um dieses Element anzusteuern bzw auszuwählen ist es völlig egal ob es dieses n_final gibt oder nicht?

Mich würde hier interessieren wie pippen gegen meine Argumente für oder gegen argumentieren würde. Vielleicht hilft es ja herauszufinden wie deine Schlussfolgerungen sich begründen/bilden?
Nicht daß jetzt jemand denkt ich stehe hinter den gerade gemachten Aussagen..

D.h.: Ich glaube, wenn man N dennoch als Menge mit aktual unendlich vielen Elementen verstehen will, dann ist das implizit schon eine a priori-Definition und folgt nicht aus ∀n ∈ N -> n+1∈ N.
Sehe ich da etwas falsch?

Glaube das siehst du richtig..

[seeker]

Danke. Gibt es weitere Stellungnahmen?

Um das zu präzisieren:
Ich glaube, dass die Begriffe "JEDES Element" bzw. "ALLE Elemente" hier problematisch sind: Es gibt sie zunächst gar nicht.
Ihre Existenz folgt m.E. nicht aus irgendetwas, sondern muss unabhängig von allem anderen angenommen werden, wenn man denn "aktual" haben möchte.

Grüße
seeker

[tomS]

Man muss nicht "aktual unendlich" annehmen. Man verwendet "für alle" und eine Nachfolger-Relation n' = n+1.

[Skeltek]

Danke. Gibt es weitere Stellungnahmen?

Um das zu präzisieren:
Ich glaube, dass die Begriffe "JEDES Element" bzw. "ALLE Elemente" hier problematisch sind: Es gibt sie zunächst gar nicht.
Ihre Existenz folgt m.E. nicht aus irgendetwas, sondern muss unabhängig von allem anderen angenommen werden, wenn man denn "aktual" haben möchte.

Grüße
seeker

Wie ich ein paar Seiten weiter vorne beschrieben habe glaube ich, daß der Begriff der Existenz zumindest formeltechnisch problematisch ist.
Meiner Meinung nach existiert zunächst gar keine Zahl, aber jede ist durch eine Kette von Verknüpfungen konstruierbar/erreichbar/auswählbar.
Nimmt man z.B. eine Formel f(x)=13x^2+(17*3) ist immer nur der Teil der Gleichung "existent", der gerade ausgewertet wird. Also entweder die 3, oder das (17*3) oder das (13x^2+51).
Letztlich kann man immer nur ein Ergebniss bei einer Evaluierung erhalten.

[seeker]

Dann sehe ich es richtig.

Ja, aber dann steht in Tom's 1. Beitrag vom 29. Dez 2013, 14:14 eben alles drin, was da wichtig ist. Und Pippen, deine Einwände greifen nur für aktual unendliche Mengen - wenn überhaupt:

Du musst zwei Dinge unterscheiden:
- potentiell vs. aktual unendlich
- beweisbar vs. konstruierbar

Eine potentiell unendliche Menge ist bereits durch die Angabe N = {1,2,3,...,n,n+1,...} in dem Sinne gegeben, dass zu jedem beliebigen n auch der Nachfolger n+1 zu der Menge gehören soll. Diese Menge wird so in gewisser Weise rekursiv definiert oder konstruiert, nicht jedoch bewiesen.

Ich denke, aktual unendliche Mengen werden tatsächlich axiomatisch eingeführt, wobei ein Axiom nicht direkt ein eine unendliche Menge definieren muss.

Deine Idee besagt - soweit ich sie richtig verstehe - dass aktual unendliche Mengen nicht rekursiv definiert bzw. konstruiert werden können. Ich denke, da kann man zustimmen. Deine Idee schließt jedoch keine potentiell unendlichen Mengen wie N oder R aus. Die Endlichkeit von n mit einem maximalen Element nmax = max N führt sofort auf den Widerspruch zur rekursiven Definition von N, dass nämlich mit jedem Element und damit auch mit nmax der Nachfolger, hier nmax+1 per Defintion Element der Menge ist. N und R können also nicht endlich sein (insbs. kann R mittels Dedekindscher Schnitte definiert werden, ohne direkt auf eine explizite Unendlichkeit, außer der der Anzahl der Konstruktionsschritte selbst, zu verweisen).

Wenn du also eine rekursive Definition oder Konstruktion zulässt, dann ist nach meinem Verständnis das potentiell Unendliche eine zwingende Notwendigkeit.

... denn alle deine Einwände gehen (z.T. versteckt) davon aus, dass ALLE Elemente von N schon im voraus existieren (aktual eben).


Und das hier...

Hätte ich es mit einer (abgeschlossenen) aktual unendlichen Menge zu tun und würde ich fordern, dass in x JEDES Element von N eingesetzt werden darf bzw. x (von Anfang an!) für ALLE Elemente von N steht, dann kann es kein x+1 geben, denn alle Elemente von N wären schon für x verbraucht bzw. reserviert.

... greift eben nicht für potentiell unendliche Mengen, die sich sozusagen erst noch aufbauen, wo es gar kein "von vorneherein ALLE" gibt, sondern nur ein "bisher alle".
Ich denke das ist der Punkt!

Man muss auch noch im Hinterkopf halten, dass "Die Anzahl der Elemente der Menge M ist unendlich!" KEINE Eigenschaft ist, sondern die Abwesenheit, das Fehlen einer Eigenschaft, während "Die Anzahl der Elemente der Menge M' ist endlich" eine ECHTE Eigenschaft ist.

Beispiel:

M ={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}, (Elemente in dieser Reihenfolge geordnet)
Diese Menge hat mehrere Eigenschaften:
So ist die Anzahl ihrer Elemente zählbar und endlich. Es sind genau 10 Elemente.
Sie ist auch abzählbar. Damit meine ich: Wenn man sich ein Intervall aus M herausgreift (z.B. [c,d,e,f] und mit dem Zählen beim ersten Element des Intervalls anfängt und abzählt, kommt man bis zum letzten Element, also auch zu einem Ende. Man kann sich dadurch im Beispiel von dem Element "c" entfernen und erreicht "f".

Nehme ich nun diese Menge:

N={1,2,3,4,5,6,...}
Die Anzahl der Elemente ist nicht zählbar und es fehlt ihr damit auch die Eigenschaft endlich zu sein: Man kann nicht mit einer Zahl ausdrücken, wie viele Elemente die Menge hat.
Sie hat aber dennoch die Eigenschaft abzählbar zu sein: Wenn man sich irgendein endliches Intervall aus N herausgreift (z.B. [10,11,12,13] und mit dem Zählen beim ersten Element des Intervalls anfängt und abzählt, kommt man bis zum letzten Element, also auch zu einem Ende. Man kann sich dadurch im Beispiel von dem Element "10" entfernen und erreicht "13". Auch bei allen Teilmengen von N, die potentiell unendlich viele Elemente enthalten, kommt man durch abzählen beliebig weit vom Startelement weg, obwohl man dann zu keinem Ende kommt.

Eine weitere Menge:

R, die reellen Zahlen.
Diese Menge hat noch weniger Eigenschaften als N. Es fehlt ihr zusätzlich noch die Eigenschaft abzählbar zu sein: Jedes Intervall aus R enthält unendlich viele Elemente, man kann durch abzählen keinen Abstand zum Startelement des Intervalls gewinnen.


Wenn "unendlich" keine Eigenschaft ist, dann muss ich es auch nicht direkt beweisen. Ich muss nur beweisen, dass die Eigenschaft "endlich zu sein" bei einer betrachteten Menge nicht vorliegt.

Im Falle von N ist das doch sowas von direkt einsichtig, dass ich Einwände gar nicht recht verstehe, wenn man sich N nicht als fertig existierende Menge vorstellt, sondern als etwas, das erst noch entwickelt wird, das also ein Prozess ist:

M = 1, ...
M = 1, 2, ...
M = 1, 2, 3, ...
M = 1, 2, 3, 4, ...
usw.

"Unendlich" bedeutet dann nicht "Eine Eigenschaft, die N von vorneherein hat", sondern dass die Entwicklung von N ein nicht-endender PROZESS ist.
Dass ein Prozess...

10 Setze x = 1
20 Füge der letzten bis jetzt vorhandenen Zahl x eine weitere Zahl x+1 hintendran hinzu
30 Goto 20

...niemals endet, kannst du doch wohl schlecht bezweifeln Pippen?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Laienhaft ausgedrückt:
Die Hülle des potentiell unendlichen ist sein existentieller Abschluss, also das aktual unendliche.

[Pippen]

Und "n+1" hat einen Nachfolger, das folgt trivialerweise auch aus dem Axiom. Demzufolge hat nämlich JEDE natürliche Zahl einen Nachfolger, also auch n+1.

Nein, da überinterpretierst du - so wie mE alle Mathematiker - das Axiom. Das Axiom "∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N" sagt nur: Für alle n gilt: Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n+1 eine natürliche Zahl. Es sagt nichts, aber auch gar nichts, über den Nachfolger von n+1, weil nunmal im Antezedens des Axioms nur ein n steht. Und n+1 ist kein n und damit folgt für n+1 nichts. Das ist banal und es wundert mich, mit welcher Leichtigkeit die Mathematik diesen Umstand "übergeht".

Deshalb scheitert auch der indirekte Beweis, nach dem man beweisen kann, dass für jedes n immer ein n+1 nachfolgt, so dass n nicht die größte Zahl sein kann. Denn dieser Beweis gilt eben nur für n, nicht für n+1. n+1 steht immer und notwendig für eine andere Zahl als in n und bedürfte daher eines neuen Beweises! (Natürlich könnte man diesen Einwand fixen, indem man zB beweist, dass aus n+1 sofort n+1+1 folgt oder indem man neu definiert, dass nunmehr gelte: n=n+1, aber dann setzt sich das Problem mit n+1+1 bzw. dem "neuen" n+1 weiter fort und es kommt zu keinem Ende.)

[Skeltek]

Vielleicht hilft es einiges aus
http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl
auf die naürlichen Zahlen zu übertragen.
Unendlich ist nicht Teil der natürlichen oder reelen Zahlen. Nur das Innere des Körpers ist existent. Unendlich bzw nicht in endlichen Schritten erreichbare Elemente sind uneigentliche Punkte, denen man sich nur über Folgen annähern kann.
Der einzige Unterschied zwischen einem endlichen Grenzwert und dem Unendlichen ist lediglich der, daß wir (zunächst) keine Metrik haben, die den Abstand zu "Unendlich" als endlichen Wert ausdrücken kann.
Die Aussage "beliebig genau annähern" ist also nur für endliche Grenzwerte sinnvoll. Es lässt sich jedoch eine Abstandsformel auf dem projektiven Zahlenkreis(bzw der Geraden im affinen Fall) aufstellen, um Abstände zu vergleichen. So kann man sagen, daß jede Folge mit Limes unendlich für beliebige Abstände epsilon auch tatsächlich sich beliebig genau "unendlich" annähern kann.
So lässt sich unendlich als ein nicht in der Menge enthaltener Grenzwert auffassen, der nicht in der Menge der tatsächlich existenten Zahlen enthalten ist; ein uneigentlicher Punkt.

Wir können daher nur Elemente betrachten, die tatschlich auch in endlichen Schritten erreichbar(also endlich) sind.
Deshalb ist ein Widerspruchsbeweis völlig ausreichend:
Es muss ein Element n+1 als Nachfolger von n geben, für das die Implikation [n natürliche Zahl]=>[n+1 natürliche Zahl] nicht gilt.
Dies ist aber für kein einziges endliches n gegeben.

[tomS]

Und "n+1" hat einen Nachfolger, das folgt trivialerweise auch aus dem Axiom. Demzufolge hat nämlich JEDE natürliche Zahl einen Nachfolger, also auch n+1.

Nein, da überinterpretierst du - so wie mE alle Mathematiker - das Axiom. Das Axiom "∀n: n ∈ N -> n+1 ∈ N" sagt nur: Für alle n gilt: Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n+1 eine natürliche Zahl. Es sagt nichts, aber auch gar nichts, über den Nachfolger von n+1, weil nunmal im Antezedens des Axioms nur ein n steht. Und n+1 ist kein n und damit folgt für n+1 nichts. Das ist banal und es wundert mich, mit welcher Leichtigkeit die Mathematik diesen Umstand "übergeht".

Nachdem die Mathematiker das Axiom erfunden haben, haben sie auch die Deutungshoheit. Und sie haben sich entschieden, dass n ein freies Symbol ist, das für eine beliebige, unbestimmte natürliche Zahl steht.

Es bringt nichts, dass du diese Deutung ändern möchtest.

Wenn du in Nürnberg Bratwürste bestellst, dann bekommst du die kleinen Nürnberger, und du tust gut daran, 8 oder 12 zu bestellen. In Thüringen bekommst du die großen, und 12 sind eher zu viel. In Nürnberg haben die Nürnberger recht, niemand sonst.