Hamiltonformalismus für Felder

[positronium]

Hallo allerseits,

gibt es ein Standardverfahren, mit dem man allgemein oder speziell im Fall des Hamiltonformalismus von der Formulierung für Punktteilchen zu der für Felder kommt? Im Prinzip möchte ich nur statt den Startbedingungen x0 und p0 zwei Funktionen angeben, welche für jeden Ort die Menge bzw. Dichte der Teilchen und die Impulse bestimmen. Es wäre zwar möglich, die Gleichungen zu lösen, und dann die Startparameter einzusetzen, aber ich will so etwas wie die Schrödingergleichung erhalten.
Schon 'mal vielen Dank für Euere Antworten!

Gruss

positronium

[tomS]

Du möchtest mit Punktteilchen starten und zu Feldern übergehen?

Das macht man normalerweise mittels gekoppelter Massenpunkte und dem Grenzübergang "Anzahl gegen unendlich, Abstand gegen Null". Ist nun nicht wirklich "Standard", aber historisch ganz interessant.

Als Quelle würde ich diverse Skripten zur Feldtheorie oder Quantenfeldtheorie empfehlen. Googeln hilft sicher auch.

Aber: so wie ich das sehe, macht man das immer im Lagrangeformalismus. Dieser ist aber gerade für die Schrödingergleichung kaum bekannt und wenig nützlich.

Interessiert dich der Übergang zum Feld allgemein? Muss es speziell die Schrödingergleichung sein? Muss es zwingend der Hamiltonformalismus sein? Ist evtl. die Verwandtschaft mit dem klassischen Hamilton-Jacobi-Formalismus interessant?

Ich verstehe noch nicht genau, worauf du raus willst.

[positronium]

Du möchtest mit Punktteilchen starten und zu Feldern übergehen?

Ja, so habe ich mir das gedacht, weiss aber nicht, ob das ein sinnvoller Ansatz ist.

Interessiert dich der Übergang zum Feld allgemein? Muss es speziell die Schrödingergleichung sein? Muss es zwingend der Hamiltonformalismus sein? Ist evtl. die Verwandtschaft mit dem klassischen Hamilton-Jacobi-Formalismus interessant?

Den Hamiltonformalismus habe ich gewählt, weil ich die RT noch aussen vor lassen will, und in Richtung Schrödingergleichung will ich, um mit der QM vergleichen zu können.

Ich verstehe noch nicht genau, worauf du raus willst.

Leider kann ich die Problemstellung noch nicht genau formulieren. Vom Prinzip geht es aber darum: Ich beschreibe ein Teilchen durch eine Menge sich klassisch verhaltender Teilchenfelder; jeder Punkt in den Feldern erzeugt eine räumlich asymmetrisch wirkende elektrische Ladung, die mit p/h rotiert. Durch Überlagerung aller Teilfelder sollten die aus der QM bekannten Wellenphänomene entstehen.
Am Ende sollte eine Bewegungsgleichung stehen, welche die Wellenphänomene nicht als Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu interpretieren verlangt, sondern als schwankende potentielle Energie. Dann sollte eigentlich eine Umformung möglich sein, die zur Schrödingergleichung führt.

[tomS]

Den Hamiltonformalismus habe ich gewählt, weil ich die RT noch aussen vor lassen will, ...

du kannst durchaus den Lagrange-Formalismus verwenden, um nicht-rel. Physik zu betreiben

... und in Richtung Schrödingergleichung will ich, um mit der QM vergleichen zu können.

und du kannst in der QM durchaus mit Lagrange und Pfadintegral arbeiten.

... Ich beschreibe ein Teilchen durch eine Menge sich klassisch verhaltender Teilchenfelder

was sind Teilchenfelder

jeder Punkt in den Feldern erzeugt eine räumlich asymmetrisch wirkende elektrische Ladung, die mit p/h rotiert.

verstehe ich nicht

Am Ende sollte eine Bewegungsgleichung stehen, welche die Wellenphänomene ... als schwankende potentielle Energie ... zu interpretieren verlangt

verstehe ich nicht; was ist die Idee dahinter?

[positronium]

... Ich beschreibe ein Teilchen durch eine Menge sich klassisch verhaltender Teilchenfelder

was sind Teilchenfelder

Meiner Vorstellung nach folgen die Eigenschaften eines Teilchens aus seiner inneren Dynamik, soz. in einem lokalen Koordinatensystem; die Eigenschaften sind darin abhängig von der Beobachterrichtung r, theta und phi (Das gilt auch für die elektrische Ladung.). Dieses Koordinatensystem liegt in allen Ausrichtungen im Raum (So hat das Teilchen im Fernfeld in alle Richtungen die gleichen Eigenschaften) und ausserdem sitzt es, einmal abgesehen von u.a. evtl. Dichteunterschieden, an jedem Punkt im Raum. D.h. ich betrachte jede Ausrichtung/Drehung der Teilchendynamik als Feld. Und das Teilchen erscheint als eine Überlagerung dieser Felder. "Teilchenfelder" eben.

jeder Punkt in den Feldern erzeugt eine räumlich asymmetrisch wirkende elektrische Ladung, die mit p/h rotiert.

verstehe ich nicht

Oben beschriebene Teilchendynamik bzw. die lokalen Koordinatensysteme rotieren an jedem Punkt unter Bewegung in einer von h abhängigen Frequenz. D.h. an jedem Punkt eines jeden Teilchenfeldes verändert sich ständig die Richtung, in welche der positive und negative Ladungsanteil wirkt. Das führt unter Bewegung zu Wellenerscheinungen, die sich durch alle Felder überlagern.

Am Ende sollte eine Bewegungsgleichung stehen, welche die Wellenphänomene ... als schwankende potentielle Energie ... zu interpretieren verlangt

verstehe ich nicht; was ist die Idee dahinter?

In der QM hat man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Diese kann man bzw. ich vermute, dass man das könnte, aber auch anders interpretieren. Nämlich indem man das Teilchen als Feld betrachtet, dessen Eigenschaften an manchen Orten durch oben beschriebene Überlagerung und Rotation eliminiert wird. So hat man zum Beispiel im Fall des Wasserstoffatoms nicht "Berge" und "Täler", die beschreiben, wo sich das Elektron wahrscheinlich befindet, sondern die "Berge" und "Täler" sind echte Eigenschaften des Elektrons am jeweiligen Ort. In den Tälern würden sich so positive und negative Teilfelder zu 0 Ladung neutralisieren. Dort habe ich also nicht nach der QM eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit=0, sondern: "Teilchen ist auch dort, hat an dem Punkt aber keine Ladung, besitzt deshalb dort keine potentielle Energie und kann wegen der fehlenden Ladung dort auch nicht gemessen werden".
Ich möchte also von der eher abstrakten Beschreibung durch die QM, angeregt durch mein Teilchenmodell zu einer realen.

[tomS]

Ich versteh's leider immer weniger.

[positronium]

Ich versteh's leider immer weniger.

Stell' Dir vor, die Beschreibung eines Teilchens liefert etwas wie eine Taschenlampe, die nach vorne und nach hinten leuchtet. Nach vorne Gelb (pos. elektrische Ladung) und nach hinten Blau (neg.).

Jetzt geben wir der Taschenlampe (z.B. =X-Achse) eine Drehachse (z.B. =Y-Achse), um welche sie während ihrer Bewegung rotiert. D.h. wenn wir auf der X-Achse stehen, und in Richtung Lampe sehen, erscheint sie abwechselnd Gelb und Blau.

Dann machen wir aus der einzelnen Taschenlampe ein 3D-Taschenlampenfeld. In Verbindung mit der Bewegung der Lampen entsteht eine ebene Welle ("Verschiebung" im Feld führt auch zu Rotation), die je nach Ort Gelb oder Blau leuchtet.

Als nächstes gibt es nicht nur die X- und Y-Achsenversion der Taschenlampe, sondern "jede" weitere Ausrichtung. An diesem Punkt hätte man als Überlagerung ein grünes/neutrales Teilchen; bei der nicht vereinfachenden Beschreibung bleibt aber ein Rest, welcher der Teilchenladung entspricht. Ansonsten erscheint es aber homogen.

Zuletzt kommt noch die Wirkung des Potentials auf die Bewegung der Taschenlampen und deren Rotationsgeschwindigkeit hinzu, als auch eine Zwangsbedingung.

Im Fall eines gebundenen Zustands sollte der o.g. Rest bei den Maxima von |psi|² liegen, er aber bei den Minima neutralisiert sein.

[positronium]

du kannst durchaus den Lagrange-Formalismus verwenden, um nicht-rel. Physik zu betreiben
...
und du kannst in der QM durchaus mit Lagrange und Pfadintegral arbeiten.

Ich versuche gerade, mich in die Differentialgleichung einzulesen. Diese hier ist doch richtig, oder? http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-F ... auf_Felder Die ist ziemlich unschön.
Wird mit dem Index i das jeweilige Feld bezeichnet, und ist über alle Felder zu summieren?

[positronium]

@Positronium
Es ist doch unglaublich.Ihr wollt die Physik verstehen aber seid nicht bereit, endlich nach zehn Jahren zunächst über ein ruhendes Teilchen (z.B. über Drac-Gleichung) zu diskutieren,um zu wissen, was überhaupt die Ladung, Spin, Parität, Ruhemasse,Ruheenergie und Eigenzeit physikalisch bedeuten, denn dann kann man das Teilchen als ein Freies Teilchen oder ein Teilchen im Potential untersuchen, damit festgestellt werden kann, wie diese Eigenschaften in Erscheinung treten, wenn das Teilchen sich bewegt.

Oh, doch. Ich will verstehen. Ich kann aber nicht erkennen, dass Du etwas erklärst. Weil Du Dich oben auf die Ruhemasse beziehst, und das ein Thema ist, mit dem ich mich schon gut befasst habe: Erkläre doch einmal, mit Berechnung(!), warum welches Elementarteilchen welche Ruhemasse besitzt.

[tomS]

du kannst durchaus den Lagrange-Formalismus verwenden, um nicht-rel. Physik zu betreiben
...
und du kannst in der QM durchaus mit Lagrange und Pfadintegral arbeiten.

Ich versuche gerade, mich in die Differentialgleichung einzulesen. Diese hier ist doch richtig, oder? http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-F ... auf_Felder Die ist ziemlich unschön.
Wird mit dem Index i das jeweilige Feld bezeichnet, und ist über alle Felder zu summieren?

i und j, i,j = 1..n indizieren n Felder; i bezeichnet genau ein beliebiges Feld; die Summe über j läuft über alle Werte 1..n

[positronium]

i und j, i,j = 1..n indizieren n Felder; i bezeichnet genau ein beliebiges Feld; die Summe über j läuft über alle Werte 1..n

Es müsste so sein, dass j über die Koordinaten t,x,y,z läuft, und i die Felder bezeichnet, welche aber nur über L gekoppelt sind. Richtig? Aber trotzdem verstehe ich das nicht, bzw. es funktioniert einfach nicht.
Für einen ersten Versuch will ich das Feld phi[t,x] (Teilchen- bzw. Massendichte) in einem eindimensionalen harmonischen Oszillator berechnen. Ist es richtig, dass die Lagrange-Dichte so aussehen muss?

Dafür erhalte ich sogar noch ein Ergebnis, allerdings mit 2 freien Parametern. Deshalb habe ich versucht phi[0,x] einer Normalverteilung gleich zu setzen. Dann klappt die Berechnung schon nicht mehr. Ausserdem müsste ich noch eine Startgeschwindigkeit angeben, aber dafür weiss ich nicht einmal einen Ansatz. Was mache ich falsch?

[tomS]

i und j, i,j = 1..n indizieren n Felder; i bezeichnet genau ein beliebiges Feld; die Summe über j läuft über alle Werte 1..n

Es müsste so sein, dass j über die Koordinaten t,x,y,z läuft, und i die Felder bezeichnet, welche aber nur über L gekoppelt sind.

Nein, die Koordinaten kommen nicht explizit vor; j numeriert die Felder, nicht die Koordinaten.

Für einen ersten Versuch will ich das Feld phi[t,x] (Teilchen- bzw. Massendichte) in einem eindimensionalen harmonischen Oszillator berechnen.

Willst du jetzt Felder aneinander koppeln, oder willst du die Schrödingergleichung ableiten?

Im ersten Fall hast du kein externes Potential, sondern Kopplungsterme; siehe z.B. Lagrangedichte für Klein-Gordon-Gl. oder Higgsfeld.

Im zweiten Fall gibt es eine definierte Lagrangedichte für die Schrödingegleichung.

Ist es richtig, dass die Lagrange-Dichte so aussehen muss?

Nein, das ist für keine der beiden Alternativen richtig.

Die Lagrangedichte für die nicht-rel. Schrödingergleichung mit externem Potential V findest du hier:

http://www.chemie.de/lexikon/Schr%C3%B6 ... rgleichung

[positronium]

i und j, i,j = 1..n indizieren n Felder; i bezeichnet genau ein beliebiges Feld; die Summe über j läuft über alle Werte 1..n

Es müsste so sein, dass j über die Koordinaten t,x,y,z läuft, und i die Felder bezeichnet, welche aber nur über L gekoppelt sind.

Nein, die Koordinaten kommen nicht explizit vor; j numeriert die Felder, nicht die Koordinaten.

Jetzt verstehe ich gar nichts mehr. Schreiben wir schon über die gleiche Formel? - Ich meine die von http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-F ... auf_Felder, also in Mathematica habe ich

eingetippt, wobei my die Werte q={t,x,y,z} annimmt. my ist das j von Wikipedia.

Die Lagrangedichte für die nicht-rel. Schrödingergleichung mit externem Potential V findest du hier:

http://www.chemie.de/lexikon/Schr%C3%B6 ... rgleichung

Das könnte eine Grundlage sein. (Das h² soll dort bestimmt auch hquer² heissen?) Ganz sicher bin ich mir aber nicht, weil nach meiner Vorstellung nicht psi, sondern nach Integration über meine Felder direkt |psi|² entstehen sollte.
Ich muss die Formel und eine mögliche Umformung durchdenken.
Vielen Dank!

[tomS]

Nochmal, i,j numeriert die Felder, my numeriert die Koordinaten

[positronium]

Nochmal, i,j numeriert die Felder, my numeriert die Koordinaten

Ich will nicht darauf herum reiten, aber dann gibt es laut Wikipedia nur 3 Felder...

[tomS]

Nochmal, i,j numeriert die Felder, my numeriert die Koordinaten

Ich will nicht darauf herum reiten, aber dann gibt es laut Wikipedia nur 3 Felder...

Wo steht das??

Es gibt so viele Felder, wie du magst; i,j einerseits und my andererseits sind völlig unabhängig voneinander

[positronium]

Wo steht das??

Bitte klicke den Link http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-F ... auf_Felder an. Die erste Formel in dem Abschnitt ist die Lagrange-Gleichung für Felder. Links vom Ist-Gleich-Zeichen läuft j von 1 bis 3; das müssen Koordinaten, keine Felder sein. Rechts vom Ist-Gleich-Zeichen werden deren Ableitungen mit der für die Zeit als my zusammen gefasst. Nur i ist offensichtlich ein Index für Felder. Deshalb habe ich oben "Es müsste so sein, dass j über die Koordinaten t,x,y,z läuft, und i die Felder bezeichnet, welche aber nur über L gekoppelt sind." geschrieben.

Übrigens klappt das jetzt auch für die Schrödingergleichung. Aus

wird mit

die SG

Es gibt so viele Felder, wie du magst; i,j einerseits und my andererseits sind völlig unabhängig voneinander

Ja, dass es beliebig viele Felder i geben muss, ist mir klar. Oder meinst Du mit den beiden Indizes i und j die gleichen Felder, welche jeweils paarweise aneinander gekoppelt werden? Das entspricht dann aber nicht der Schreibweise auf Wikipedia. Dort ist eben immer nur von phi[down]I[/down] die Rede.

[tomS]

Wo steht das??

Bitte klicke den Link http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-F ... auf_Felder an. Die erste Formel in dem Abschnitt ist die Lagrange-Gleichung für Felder. Links vom Ist-Gleich-Zeichen läuft j von 1 bis 3; das müssen Koordinaten, keine Felder sein. Rechts vom Ist-Gleich-Zeichen werden deren Ableitungen mit der für die Zeit als my zusammen gefasst. Nur i ist offensichtlich ein Index für Felder. Deshalb habe ich oben "Es müsste so sein, dass j über die Koordinaten t,x,y,z läuft, und i die Felder bezeichnet, welche aber nur über L gekoppelt sind." geschrieben.

Sorry, ja, du hast recht, hatte das j glatt übersehen, damit klärt sich die Verwirrung

Rest passt ;-)

[positronium]

Gut, Danke, dann stimmt mein Weltbild wieder!

[positronium]

Ich muss noch einmal nachfragen: Wenn ich für einen Punkt im Feld die Lagrange-Funktion

habe, und aus diesem einen Punkt ein Feld machen möchte, dessen Dichte phi[x] ist, dann ist doch der zweite Term einfach

aber die kinetische Energie ist problematisch. Erst dachte ich ja einfach an die Zeitableitung, aber das würde nur die Veränderung an jedem Punkt beschreiben. Für die kinetische Energie muss ich aber wissen, wie weit, und in welche Richtung sich die Dichte pro dt bewegt, denn andernfalls würde die kinetische Energie von einem Punkt mit +v und einem mit -v zu 0. Wie funktioniert so etwas? Muss ich aus phi vorwärts(+x)- und rückwärts(-x)-Vektorfelder machen?

[tomS]

Schau mal hier: http://einrichtungen.ph.tum.de/T30e/tea ... s/sec1.pdf insbs. Abschnitt 1.3

Man macht nicht aus einem Punkt ein Feld, das Feld entsteht aus einer Ansammlung von unendlich vielen, dicht beieinander liegenden Massepunkten. D.h. das Feld ist das Ergebnis eines Kontinuumslimes.

Dabei kann man ein externes Potential einbauen (s.o.) sowie weitere Kopplungsterme einführen (s. z.B. Eichtheorie).

[positronium]

Das Prinzip habe ich wohl verstanden. Dann dürfte es so richtig sein:

worin gilt: und
D.h. dann, dass für die Zeit t und den Startpunkt x die neue Position zu t liefert, und einfach deren Dichte berechnet, richtig?

Wenn ich das in die Lagrange-Gleichung einsetze, ergibt das die Bewegungsgleichung:

Ist das in der Form normal? - Bei den Bewegungsgleichungen der QM hat man doch auch nur eine Funktion. Zwar kann ich nach lösen, aber dann bleibt eine fiese -Abhängigkeit.

Verschiedene Startbedingungen kann Mathematica nicht verarbeiten.